बहुपद : एनoसीoआरoटीo प्रश्नावली 2.2 (NCERT Exercise 2.2)

 

एनoसीoआरoटीo प्रश्नावली 2.2 (NCERT Exercise 2.2)

प्रश्न संख्या (1) निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए :

(i) x2 – 2 x – 8

हल:

दिया गया है,

x2 – 2 x – 8

मध्य पद 2x को विस्तारित करने पर हम पाते हैं

= x2 – 4 x + 2 x – 8

[∵ 2 x = – 4 x + 2 x]

= x(x – 4) + 2(x – 4)

अब (x – 4 ) को उभयनिष्ठ (common) लेने पर हम पाते हैं

=(x – 4)(x + 2)

अत: बहुपद x2 – 2 x – 8 का मान शून्य है, जब x – 4 = 0 या x + 2 = 0

अत:,

यदि x – 4 = 0

∴ x = 4

तथा, यदि x + 2 = 0

∴ x = – 2

अत:,

बहुपद x2 – 2 x – 8 के शून्यक 4 तथा – 2 हैं। उत्तर

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

शून्यकों का योग = 4 + (–2)

= – – 21 = – (x का गुणांक)x2 का गुणांक

तथा शून्यकों का गुणनफल = 4 × (– 2) = – 8

= – 81 = अचर पदx2 का गुणांक

(ii) 4 s2 – 4 s + 1

हल:

दिया गया है, 4 s2 – 4 s + 1

मध्य पद – 4 s को विस्तारित करने पर हम पाते हैं कि

=(2 s)2 – 2 × 2 × s + 1

= (2 s – 1)2

[∵ (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2]

= (2 s – 1) (2 s – 1)

अत: बहुपद (Polynomial) 4 s2 – 4 s + 1 का मान शून्य (0) है, जब 2 s – 1 = 0

अत: जब 2 s – 1 = 0

⇒ 2 s = 1

⇒ s = 12

अत: बहुपद (polynomial) 4 s2 – 4 s + 1 के शून्यक 12 और 12 हैं।

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

शून्यकों का योग (Sum of zeroes) = 12 + 12 = 1

= – ( – 4 )4 = – ( s का गुणांक )s2 का गुणांक

शून्यकों का गुणनफल (Product of zeroes) = 12 × 12

= 14 = – ( – 4 )4 = अचर पदs2 का गुणांक

(iii) 6 x2 – 3 – 7 x

हल:

दिया गया है, 6 x2 – 3 – 7 x

= 6 x2 – 7 x – 3

मध्य पद – 7 x को विस्तारित करने पर हम पाते हैं कि

= 6 x2 – 9 x + 2 x – 3

[∵ – 9 x + 2 x = – 7 x]

= 3 x (2 x – 3) + 1 (2 x – 3)

पद 2 x + 3 को उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि

= (2 x – 3)(3 x + 1)

अत: बहुपद (Polynomial) 6 x2 – 3 – 7 x का मान शून्य (0) है, जब 2 x – 3 = 0 या 3 x + 1 = 0 है।

अत: जब

2 x – 3 = 0

∴ 2x = 3

⇒ x = 32

तथा, जब, 3 x + 1 = 0

∴ 3 x = – 1

⇒ x = – 13

अत: बहुपद (Polynomial) 6 x2 – 3 – 7 x के शून्यक 32 तथा – 13 है।

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

अब,

शून्यकों का योग = 32 + – 13

= 9 – 76 = 76

= – (– 7)6 = – (x का गुणांक)x2 का गुणांक

तथा शून्यकों के गुणनफल = 32 × – 13

= – 36 = अचर पदx2 का गुणांक

(iv) 4 u2 + 8 u

हल:

दिया गया है, 4 u2 + 8 u

= 4 u (u + 2)

अत: बहुपद (polynomial) 4 u2 + 8 u का मान शून्य है, जब 4 u = 0 या u + 2 = 0 है।

अत: जब, 4 u = 0

∴ u = 0

तथा, जब u + 2 = 0

∴ u = – 2

अत: बहुपद (polynomial) 4 u2 + 8 u के शून्यक 0 तथा – 2 हैं।

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

शून्यकों का योगफल = u + ( – 2 ) = – 2

= – 84 = – (u का गुणांक)u2 का गुणांक

तथा शून्यकों का गुणनफल = 0 × (– 2) = 0

= 04 = अचर पदu2 का गुणांक

(v) t2 – 15

हल:

दिया गया है, t2 – 15

= t2 – ( 15 )2

= ( t + 15 ) ( t – 15 )

[∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]

अत: बहुपद (Polynomial) t2 – 15 का मान शून्य है, जब t – 15 = 0 या t + 15 = 0 है।

अत: जब t – 15 = 0

∴ t = 15

तथा जब, t + 15 = 0

∴ t = – 15

अत: बहुपद (Polynomial) t2 – 15 के शून्यक 15 तथा – 15 हैं।

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

शून्यकों का योग = 15 + ( – 15 ) = 0

= – 01 = – (t का गुणांक)t2 का गुणांक

तथा शून्यकों का गुणनफल = 15 × ( – 15 ) = – 15

= – 151 = अचर पदt2 का गुणांक

(vi) 3 x2 – x – 4

हल:

दिया गया है, 3 x2 – x – 4

मध्य पद – x को विस्तारित करने पर हम पाते हैं कि

3 x2 + 3 x – 4 x – 4

= 3 x (x + 1) – 4(x + 1)

पद (x + 1) को उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि

= (x + 1)(3 x – 4)

अत: बहुपद (Polynomial) 3 x2 – x – 4 का मान शून्य होगा जब x + 1 = 0 या 3 x – 4 = 0 है।

अत: जब, x + 1 = 0

∴ x = – 1

तथा जब, 3 x – 4 = 0

∴ 3 x = 4 ⇒ x = 43

अत: बहुपद (Polynomial) 3 x2 – x – 4 के शून्यक – 1 और 43 हैं।

शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध के सत्यता की जाँच

शून्यकों का योग (Sum of zeroes)

= – 1 + 43 = – 3 + 43 = 13

= – ( – 1 )3 = – (x का गुणांक )x2 का गुणांक

तथा शून्यकों का गुणनफल = –1 × 34

= – 43 = अचर पदx2 का गुणांक

प्रश्न संख्या (2) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं:

(i) 14, – 1

हल:

दिया गया है, बहुपद (Polynomial) के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: 14, तथा – 1 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है a x2 + b x + c ------(i)

तथा इस बहुपद के शून्यक क्रमश: α तथा β हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार

α + β = 14 = – ba

अत:, a = 4 and b = – 1

αβ = – 1 = – 44 = ca

अत:, a = 4, b = – 1 and c = – 4

अब a, b तथा c का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

4 x2 – 1 × x – 4

= 4 x2 – x – 4

अत: दिये गये मानों की शर्तों को संतुष्ट करने वाला बहुपद है, 4 x2 – x – 4 है। उत्तर

(ii) 2, 13

हल:

दिया गया है, बहुपद के शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमश: 2, तथा 13 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है a x2 + b x + c ------(i)

तथा इस व्यापक बहुपद के शून्यक क्रमश: α तथा β हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार

शून्यकों का गुणनफल

= α × β = 13 = ca

अत: c = 1 तथा a = 3

शून्यकों का योगफल

= α + β = 2 = – ba

⇒ 3 23 = – ba

[∵ a = 3]

अत:, a = 3, b = – 3√2 तथा c = 1

समीकरण (i) में a, b तथा c के मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

3 x2 – 3 x + 1

अत: दिये गये मानों के शर्तों के आधार पर बहुपद है: 3 x2 – 3 x + 1 उत्तर

(iii) 0, 5

हल:

दिया गया है, बहुपद के शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमश: 0, तथा √5 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है: a x2 + b x + c ------(i)

तथा इसके शून्यक क्रमश: α तथा β हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार

शून्यकों का योगफल (Sum of zeroes)

= α + β = 0 = 01 = – ba

तथा शून्यकों का गुणनफल (product of zeroes)

= α β = 5 = 51 = ca

अत:, a = 1, b = – 0 and c = √5

a, b तथा c के मानों को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

x2 + ( 0 × x ) + 5

= x2 + √5

अत: दिये गये मानों के शर्तों के आधार पर बहुपद = x2 + √5 उत्तर

(iv) 1, 1

हल:

दिया गया है, बहुपद के शून्यकों का योगफल एवं गुणनफल क्रमश: 1, तथा 1 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है: a x2 + b x + c ------(i)

तथा इसका शून्यक क्रमश: α तथा β है।

अत: प्रश्न के अनुसार

शून्यकों का योगफल

= α + β = 1 = 11 = – ba

तथा शून्यकों का गुणनफल

= α β = 1 = 11 = ca

अत:, a = 1, b = – 1 तथा c = 1

a, b तथा c के मानों को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

x2 – x + 1

अत: दिये गये मानों के शर्तों के आधार पर बहुपद है: x2 – x + 1 उत्तर

(v) – 14, 14

हल:

दिया गया है, द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल एवं गुणनफल क्रमश: – 14, तथा 14 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है: a x2 + b x + c ------(i)

तथा इस बहुपद के शून्यक क्रमश: α तथा β हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार,

शून्यकों का योगफल

= α + β = – 14 = – ba

तथा शून्यकों का गुणनफल

= α β = 14 = ca

अत:, a = 4, b = 1 and c = 1

a, b तथा c के मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

4 x2 + x + 1

अत: दी गई शर्तों के आधार पर द्विघात बहुपद है: 4 x2 + x + 1 उत्तर

(vi) 4, 1

हल:

दिया गया है, द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमश: 4, तथा 1 हैं।

मान लिया कि एक व्यापक बहुपद है: a x2 + b x + c ------(i)

तथा इस बहुपद के शून्यक क्रमश: α तथा β हैं।

अत: प्रश्न के अनुसार,

शून्यकों का योगफल

= α + β = 4 = 41 = – ba

तथा शून्यकों का गुणनफल

= α β = 1 = 11 = ca

अत:, a = 1, b = – 4 तथा c = 1

a, b तथा c के मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

x2 – 4 x + 1

अत: दी गई शर्तों के आधार पर द्विघात बहुपद है: x2 – 4 x + 1 उत्तर