त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग : NCERT प्रश्नावली 9.1 के हल Q: 9-16

 

NCERT प्रश्नावली 9.1 के हल Q: 9-16

प्रश्न : 9. एक मीनार के पाद बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण ${30}^0$ है और भवन के पाद बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ${60}^0$ है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि, दिया गया भवन AD है तथा दिया गया मीनार BC है।

मीनार के पाद बिन्दु B से भवन के शिखर बिन्दु D का उन्नयन कोण $={30}^0$ है।

तथा मीनार के शिखर बिन्दु C से भवन के पाद बिन्दु A का उन्नयन कोण $={60}^0$ है।

अब दिया गया है,

मीनार की ऊँचाई, BC = 50 m

तथा कोण ABD $={30}^0$

तथा कोण BAC $={60}^0$

अत: भवन की ऊँचाई, AD =?

अब, $△ABC$ में

CB = लम्ब ($p$)

तथा AB = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{CB}{AB}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{CB}{AB}$

क्रॉस गुणन करने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}AB=CB$

$\Rightarrow AB=\frac{50}{\sqrt{3}}m$

[∵ CB = 50 m]

अब, $△ABD$ में

AB = आधार ($b$)

तथा AD = लम्ब ($p$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{AD}{AB}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AD}{AB}$

क्रॉस गुणन से हम पाते हैं कि

$AB=\sqrt{3}AD$

$\Rightarrow \sqrt{3}AD=AB$

$\Rightarrow \sqrt{3}AD=\frac{50}{\sqrt{3}}m$

$\therefore AD=\frac{50}{\sqrt{3}}/\sqrt{3}m$

$\Rightarrow AD=\frac{50}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}m$

$\Rightarrow AD=\frac{50}{3}m$

$\Rightarrow AD=16\frac{2}{3}m$

अत: भवन की ऊँचाई $=16\frac{2}{3}m$ उत्तर

प्रश्न : 10. एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने सामने समान लम्बाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: ${60}^0$ तथा ${30}^0$ है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि, AD तथा BC दो खंभे सड़्क AB के आमने सामने हैं।

मान लिया कि सड़क के बीच एक बिन्दु O से एक खंभे AD के शिखर बिन्दु का उन्नयन कोण $={30}^0$ तथा दूसरे खंभे BC के शिखर बिन्दु का उन्नयन कोण $={60}^0$ है।

दिया गया है,

सड़क की चौड़ाई, AB = 80 m

खंभे AD की ऊँचाई = खंभे BC की ऊँचाई

i.e. AD = BC

अत:, AD = BC =?

तथा, AO =? And OB =?

अब, $△AOD$ में

$\angle AOD={30}^0$

AD = लम्ब ($p$)

तथा, AO = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{AD}{AO}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AD}{AO}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$AO=\sqrt{3}AD$ -------------(i)

अब, $△OBC$ में

$\angle BOD={60}^0$

BC = लम्ब ($p$)

तथा OB = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{BC}{OB}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{OB}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}OB=BC$

$\Rightarrow \sqrt{3}OB=AD$

[∵ AD = OB]

$\Rightarrow OB=\frac{AD}{\sqrt{3}}$ ----------(ii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

$AO+OB=\sqrt{3}AD+\frac{AD}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow 80m=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}AD+AD}{\sqrt{3}}$

[∵ AO + OB = 80 m. प्रश्न के अनुसार]

$\Rightarrow 80m=\frac{3AD+AD}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow 80m=\frac{4AD}{\sqrt{3}}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$80\sqrt{3}m=4AD$

$\Rightarrow AD=\frac{80\sqrt{3}}{4}m$

$\Rightarrow AD=20\sqrt{3}m$

अब AD का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}\times 20\sqrt{3}m=AO$

$\Rightarrow AO=3\times 20m$

$\Rightarrow AO=60m$

अब चूँकि, AO + OB = 80m

$\therefore 60m+OB=80m$

$\therefore OB=80m–60m=20m$

अत: खंभे की ऊँचाई $=20\sqrt{3}m$ तथा दोनों खंभों के बीच दूरी क्रमश: $60m$ तथा $20m$ हैं। उत्तर

प्रश्न : 11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टावर उर्ध्वाधरत: खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण ${60}^0$ है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा प्र स्थित एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण ${30}^0$ है। (देखिए आकृति)। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञाता कीजिए।

हल:

दिया गया है, DC = 20 m

$\angle ADB={30}^0$

तथा, $\angle ACB={60}^0$

अत:, AB =? And CB = ?

$△ACB$ में

AB = लम्ब ($p$)

तथा CB = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{AB}{CB}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{AB}{CB}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}CB=AB$

$\Rightarrow CB=\frac{AB}{\sqrt{3}}$ ---------(i)

अब, $△ADB$ में

AB = लम्ब ($p$)

तथा, DB = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{AB}{DB}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{DB}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$DB=\sqrt{3}AB$

$\Rightarrow 20m+CB=\sqrt{3}AB$

[∵ DB = 20 m + CB]

CB का मान समीकरण (i) से रखने पर हम पाते हैं कि

$20m+\frac{AB}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}AB$

$\Rightarrow 20m=\sqrt{3}AB–\frac{AB}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow 20m=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times AB–AB}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow 20m=\frac{3AB–AB}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \frac{2AB}{\sqrt{3}}=20m$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 2AB=20\sqrt{3}m$

$\therefore AB=\frac{20\sqrt{3}}{2}m$

$\Rightarrow AB=10\sqrt{3}m$ --------(ii)

अब समीकरण (ii) से AB का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$CB=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow CB=10m$

अत: मीनार की ऊँचाई $20\sqrt{3}m$ तथा नहर की चौड़ाई $10m$ है। उत्तर

प्रश्न : (12) 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण ${60}^0$ है और इसके पाद का अवनमन कोण ${45}^0$ है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि, AE एक भवन तथा BD केबल टावर है।

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, भवन की ऊँचाई, AE = 7 m

तथा भवन के शिखर से टावर के शिखर का उन्नयन कोण, $\angle DEC={60}^0$

और भवन के शिखर से टावर के पाद का अवनमन कोण, $\angle CEB={45}^0$

चूँकि $AB\mid \mid EC$ अत: $\angle BEC=\angle ABE={45}^0$

अत: केबल टावर की ऊँचाई, BD =?

अब, AE = BC = 7m

तथा, AB = EC

$△ABE$ में

AE = लम्ब ($p$) = 7 m

तथा AB = आधार ($b$)

तथा $\angle BCA={45}^0$

हम जानते हैं कि $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {45}^0=\frac{AB}{BC}$

$\Rightarrow 1=\frac{7m}{BC}$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow BC=7m$ -----------(i)

अब, $△ADE$ में

AD = BC = 7 m (समीकरण (i) से)

ED = लम्ब ($p$)

AD = आधार ($b$)

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{ED}{AD}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{ED}{7}m$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$ED=7\sqrt{3}$ -----------(ii)

अब, CE = टावर की ऊँचाई = ED + CD

$=7\sqrt{3}m+7m$

[∵ CD = AB = 7m]

$\Rightarrow CE=7(\sqrt{3}+1)m$

अत: दिये गये टावर की ऊँचाई $=7(\sqrt{3}+1)m$ उत्तर

प्रश्न : 13. समुद्र तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण ${30}^0$ और ${45}^0$ हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि, AD लाईट हाउस तथा B और C दो जहाज हैं।

दिया गया है, लाइट हाउस की ऊँचाई, AD = 75 m

अब लाइट हाउस के शिखर से जहाज C का अवनमन कोण $\angle CDE={30}^0$

अत:, $\angle ACD={30}^0$

पुन: दिया गया है, लाइट हाउस के शिखर से जहाज B का अवनमन कोण, $\angle BDE={45}^0$

अत: $\angle ABD={45}^0$

अत; दोनों जहाजों के बीच की दूरी = BC =?

$△ABD$ में

AD = लम्ब ($p$)

तथा AB = आधार ($b$)

तथा $\angle ABD={45}^0$

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {45}^0=\frac{AD}{AB}$

$\Rightarrow 1=\frac{75m}{AB}$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow AB=75m$ ----------(i)

अब, $△ACD$ में

AD = लम्ब ($p$)

AC = आधार ($b$)

तथा, $\angle ACD={30}^0$

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{AD}{AC}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75m}{A}C$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow AC=75\sqrt{3}m$

$\Rightarrow AB+BC=75\sqrt{3}m$

[∵ AC = AB + BC]

समीकरण (i) से AB का मान रखने पर हम पाते हैं कि

$75m+BC=75\sqrt{3}m$

$\Rightarrow BC=75\sqrt{3}m-75m$

$\Rightarrow BC=75(\sqrt{3}-1)m$

अत: दोनों जहाजों के बीच दूरी $=75(\sqrt{3}-1)m$ उत्तर

प्रश्न : (14) 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिअ रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण ${60}^0$ है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर ${30}^0$ हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है कि, गुब्बारे की भूमि से ऊँचाई, BM = FN = 88.2 m

लड़की की लम्बाई, AC = BD = 1.2 m

अत: EN = DM = BM – AC = 88.2 – 1.2 = 87\ m

$\angle DCM={30}^0$

तथा, $\angle ECN={60}^0$

अत: गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी, ED = FB =?

अब, $△ECN$ में

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{EN}{CE}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{87m}{CE}$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow CE\sqrt{3}=87m$

$\Rightarrow CE=\frac{87m}{\sqrt{3}}$ ---------(i)

अब, $△CDM$ में

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{DM}{CD}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87m}{CD}$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow CD=87\sqrt{3}m$

$\Rightarrow CE+ED=87\sqrt{3}m$

[∵ CD = CE + ED]

CE का मान समीकरण (i) से रखने पर

$\Rightarrow \frac{87m}{\sqrt{3}}+ED=87\sqrt{3}m$

$\Rightarrow ED=87\sqrt{3}–\frac{87m}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow ED=\frac{87\sqrt{3}\times \sqrt{3}–87}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{87\times 3–87}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{87(3-1)}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{87\times 2}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{174}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{174}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}m$

$\Rightarrow ED=\frac{174\sqrt{3}}{3}m$

$\Rightarrow ED=58\sqrt{3}m$

अत: गुब्बारे द्वार तय की गई दूरी बराबर $58\sqrt{3}m$ उत्तर

प्रश्न : 15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को ${30}^0$ के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छ: सेकेंड बाद कार का अवनमन कोण ${60}^0$ हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि AB एक मीनार है जिसके शिखर पर खड़ा एक आदमी कार को D बिन्दु पर देखता है जिसका अवनमन कोण $={30}^0$

तथा जब कार बिन्दु C पर पहुँचता है तो उसका अवनमन कोण ${60}^0$ हो जाता है।

दिया गया है, कार को बिन्दु D से बिन्दु C पर पहुँचने में लगा समय = 6 सेकेंड

अत: कार को बिन्दु C से मीनार के पाद बिन्दु B तक पहुँचने में लगा समय = ?

प्रश्न में दिये गये स्थिति के अनुसार बने हुए आकृति से

$\angle ADB={30}^0$

तथा $\angle ACB={60}^0$

अब, $△ABC$ में

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {60}^0=\frac{AB}{BC}$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{AB}{BC}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$AB=\sqrt{3}BC$ ---------(i)

अब, $△ABD$ में

हम जानते हैं कि, $\tan \theta =\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan {30}^0=\frac{AB}{BD}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BD}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$BD=\sqrt{3}AB$

$\Rightarrow AB=\frac{BD}{\sqrt{3}}$ ----------(ii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) से

$\sqrt{3}BC=\frac{BD}{\sqrt{3}}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times BC=BD$

$\Rightarrow 3BC=BD$

$\Rightarrow 3BC=BC+CD$

[∵ BD = BC + CD]

$\Rightarrow CD=3BC–BC$

$\Rightarrow CD=2BC$

$\Rightarrow BC=\frac{1}{2}CD$

∵ कार द्वारा दूरी CD को तय करने में लगा समय $=6$ सेकेंड

∴ कार द्वारा दूरी $1$ तय करने में लगा समय $=\frac{6}{CD}$ सेकेंड

∴ कार द्वारा $\frac{1}{2}CD$ दूरी तय करने में लगने वाला समय $=\frac{6}{CD}\times \frac{1}{2}CD$ सेकेंड

$=3$ सेकेंड

अत: कार को दिये गये बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में लगा समय बराबर $6$ सेकेंड है। उत्तर

प्रश्न : 16. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

हल:

मान लिया कि DC दिया गया मीनार है।

तथा A और B मीनार के आधार से सरल रेखा में दो बिन्दु हैं।

दिया गया है, $\angle DAC$ और $\angle DBC$ पूरक कोण हैं।

मान लिया कि, $\angle DAC=A$

अत: $\angle DBC={90}^0-A$

पुन: दिया गया है, DA = 4 m

तथा DB = 9 m

अत: सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई = 6m

$△DAC$ में

DA = 4 m = आधार ($b$)

तथा DC = लम्ब ($p$)

तथा, $\angle DAC=A$

हम जानते हैं कि, $\tan A=\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan A=\frac{CD}{DA}$

$\Rightarrow \tan A=\frac{CD}{4m}$ --------(i)

अब, $△DBC$ में

DB = आधार ($b$) $=9m$

तथा, $\angle DBC={90}^0-A$

तथा CD = लम्ब ($p$)

हम जानते हैं कि, $\tan A=\frac{p}{b}$

$\Rightarrow \tan ({90}^0-A)=\frac{CD}{DB}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{CD}{9m}$ ----------(ii)

[∵ $\tan ({90}^0-A)=\cot A)$]

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\tan A\times \cot A=\frac{CD}{4m}\times \frac{CD}{9m}$

$\Rightarrow \tan A\times \frac{1}{\tan A}=\frac{CD\times CD}{4m\times 9m}$

$\Rightarrow 1=\frac{{\left(CD\right)}^2}{36m^2}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

${\left(CD\right)}^2=36m^2$

$\Rightarrow CD=\sqrt{36m^2}$

$\Rightarrow CD=6m$ = मीनार की ऊँचाई

अत: मीनार की ऊँचाई = 6 m सिद्ध