समांतर श्रेणी : NCERT प्रश्नावली 5.2

 

NCERT प्रश्नावली 5.2

प्रश्न संख्या: 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहा AP का प्रथम पद $a$, सार्व अंतर $d$ और $n$वाँ पद $a_n$ है:

Sl	a	d	n	$a_n$
(i)	7	3	8	...
(ii)	$-18$	...	10	0
(iii)	...	$-3$	18	$-5$
(iv)	$-18.9$	2.5	...	3.6
(v)	3.5	0	105	....

Solution:

Answer Table

Sl	a	d	n	$a_n$
(i)	7	3	8	28
(ii)	$-18$	2	10	0
(iii)	46	$-3$	18	$-5$
(iv)	$-18.9$	2.5	10	3.6
(v)	3.5	0	105	3.5

ब्याख्या

(i) दिया गया है, $a=7,d=3,n=8$

अत:, $a_n=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore a_8=7+(8-1)3$

$=7+7\times 3=28$ उत्तर

(ii) दिया गया है, $a=-18,n=10,a_n=0$

अत:, $d=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore 0=-18+(10-1)\times d$

$\Rightarrow 0=-18+9d$

$\Rightarrow 9d=18$

$\therefore d=\frac{18}{9}=2$ उत्तर

(iii) दिया गया है, $d=-3,n=18,a_n=-5$

Therefore, $a=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore -5=a+(18-1)\times (-3)$

$\Rightarrow -5=a+17\times (-3)$

$\Rightarrow -5=a-51$

$\Rightarrow a=-5+51=46$ उत्तर

(iv) दिया गया है, $a=-18.9,d=2.5,a_n=3.6$

अत:, $n=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore 3.6=-18.9+(n-1)\times 2.5$

$\Rightarrow 3.6=-18.9+2.5n-2.5$

$\Rightarrow 3.6=-21.4+2.5n$

$\Rightarrow 2.5n=3.6+21.4$

$\Rightarrow 2.5n=25$

$\therefore n=\frac{25}{2.5}=10$ उत्तर

(v) दिया गया है, $a=3.5,d=0,n=105$

अत:, $a_n=?$

यहाँ चूँकि सार्व अंतर $=0$ है, अत: सभी पद प्रथम पद $=3.5$ के बराबर होंगे।

$\therefore a_{105}=3.5$ उत्तर

प्रश्न संख्या: (2) निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) AP: 10, 7, 4, ..., का $30$वाँ पद है:

(A) 97

(B) 77

(C) $-77$

(D)$-87$

हल:

दिया गया है, 10, 7, 4, ...

यहाँ प्रथम पद $a_1=10$

तथा सार्व अंतर [Common differnece (d)]

$=a_2-a_1=a_3-a_2$

$=7-10=4-7$

$\Rightarrow d=-3$

∴ $30$वाँ पद, $a_{30}=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore a_{30}=10+(30-1)\times (-3)$

$=10+29\times (-3)=10-87$

$\Rightarrow a_{30}=-77$

∴ विकल्प (C)$-77$ सही उत्तर है

(ii) AP: $-3,-\frac{1}{2},2,$......, का $11$वाँ पद है:

(A) 28

(B) 22

(C) $-38$

(D)$-87$

हल:

दिया गया है, $-3,-\frac{1}{2},2,$......,

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=-3$

तथा सार्व अंतर $\left(d\right)$

$a_2-a_1=-\frac{1}{2}-(-3)$

$=-\frac{1}{2}+3=\frac{-1+6}{2}$

$d=\frac{5}{2}$

∴ $a_{11}=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore a_{11}=-3+(11-1)\times \left(\frac{5}{2}\right)$

$=-3+10\times \frac{5}{2}$

$=-3+5\times 5=-3+25$

$a_{11}=22$

∴ विकल्प $\left(B\right)22$ सही उत्तर है।

प्रश्न संख्या. (3) निम्नलिखित समांतर श्रेणियों मे, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:

(i) 2, $\square$, 26

हल:

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=2$

तथा तीसरा पद $\left(a_3\right)=26$

∴ दूसरा पद $\left(a_2\right)=?$

मान लिया कि सार्व अंतर $=d$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$

अत: तीसरा पद $\left(a_3\right)$

$\Rightarrow 26=2+(3-1)d$

$\Rightarrow 26=2+2d$

$\Rightarrow 2d=26-2=24$

$\therefore d=\frac{24}{2}=12$

अत: रिक्त खाने के पद, अर्थात दूसरा पद $a_2$ की निम्नांकित तरीके से गणना की जा सकती है।

विधि (1)

चूँकि समांतर श्रेणी में, दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर

$\therefore a_2=a_1+d$

$\Rightarrow a_2=2+12=14$

विधि (2)

हम जानते हैं कि $a_n=a+(n-1)d$

$a_2=2+(2-1)\times 12$

$\Rightarrow a_2=2+12=14$

अत: रिक्त स्थान का पद $=14$ उत्तर

विधि (3)

यदि $a,b,c$, A.P. में है, तो

$b=\frac{a+c}{2}$

अत: दूसरा पद $b=\frac{2+26}{2}$

$a_2\left(b\right)=\frac{28}{2}=14$

अत: रिक्त स्थान का पद $=14$ उत्तर

(ii) $\square ,13,\square ,3$

हल:

दिया गया है, $a_2=13\text{and}{a}_4=3$

$\therefore a_1$ तथा $a_3=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पद की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore a_2=a+(2-1)d$

$\Rightarrow 13=a+d$ -----(i)

तथा $a_4=a+(4-1)d$

$\Rightarrow 3=a+3d$ -----(ii)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर

$13-3=(a+d)-(a+3d)$

$\Rightarrow 10=a+d-a-3d$

$\Rightarrow 10=-2d$

$\therefore d=-\frac{10}{2}=-5$

अब, प्रथम पद = द्वितीय पद ? सार्व अंतर

$\Rightarrow a_1=13-(-5)$

$\Rightarrow a_1=13+5=18$

तथा तीसरा पद = दूसरा पद + सार्व अंतर

$=a_3=13+(-5)$

$\Rightarrow a_3=13-5=8$

अत: खाली स्थान के पद $18$ तथा $8$ हैं। उत्तर

वैकल्पिक विधि

यदि $a,b,c$, A.P. में है, तो

$b=\frac{a+c}{2}$

यहाँ दिया गया है, $a_2=13\text{and}{a}_4=3$

अत: तीसरा पद $a_3=\frac{a_2+a_4}{2}$

$\Rightarrow a_3=\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}$

$a_3=8$

यहाँ, सार्व अंतर, $d=a_4-a_3$

$\Rightarrow d=3-8=-5$

$\therefore a_1=a_2-d=13-(-5)$

$\Rightarrow a_1=13+5=18$

अत: खाली स्थान के पद $18$ तथा $8$ हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 3 (iii) $5,\square ,\square ,9\frac{1}{2}$

हल:

दिया गया है, प्रथम पद $\left(a_1\right)=5$

तथा चौथा पद $\left(a_4\right)=9\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$

$\therefore a_2\text{and}{a}_3=?$

मान लिया कि सार्व अंतर $=d$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore a_4=a+(4-1)d$

$\Rightarrow \frac{19}{2}=5+3d$

$\Rightarrow \frac{19}{2}-5=3d$

$\Rightarrow \frac{19-10}{2}=3d$

$\Rightarrow 3d=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow d=\frac{9}{2\times 3}=\frac{3}{2}$

अब, $a_2=a_1+(2-1)d$

$\Rightarrow a_2=5+1\times \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a_2=\frac{10+3}{2}=\frac{13}{2}$

$\Rightarrow a_2=6\frac{1}{2}$

तथा, $a_3=a+(3-1)d$

$\Rightarrow a_3=5+2\times \frac{3}{2}=5+3$

$\Rightarrow a_3=8$

अत:, $6\frac{1}{2}$ तथा $8$ रिक्त स्थान के पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 3 (iv) $-4,\square ,\square ,\square ,\square ,6,$ .......

हल:

दिया गया है, $-4,\square ,\square ,\square ,\square ,6,$ .......

यहाँ, $a_1=-4\text{and}{a}_6=6$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore a_6=a+(6-1)d$

$\Rightarrow 6=-4+5d$

$\Rightarrow 5d=6+4=10$

$\Rightarrow d=\frac{10}{5}=2$

अब, ∵ $a_2=a+d$

$\therefore a_2=-4+2=-2$

तथा, $a_3=a+(3-1)d$

$\Rightarrow a_3=-4+2\times 2$

$\Rightarrow a_3=-4+4=0$

तथा, $a_4=-4+(4-1)2$

$\Rightarrow a_4=-4+3\times 2=-4+6$

$\Rightarrow a_4=2$

तथा, $a_5=-4+(5-1)2$

$\Rightarrow a_5=-4+4\times 2$

$\Rightarrow a_5=-4+8=4$

अत: रिक्त स्थान के पद क्रमश: $-2$, 0, 2$तथा$4` हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 3 (v) $\square ,38,\square ,\square ,\square ,-22$

हल:

दिया गया है, दूसरा पद, $\left(a_2\right)=38$ तथा छठा पद $\left(a_6\right)=-22$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore a_2=a+(2-1)d$

$38=a+d$ -----(i)

तथा, $a_6=a+(6-1)d$

$\therefore -22=a+5d$ -------(ii)

समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हम पाते हैं

$38-(-22)=a+d-(a+5d)$

$\Rightarrow 38+22=a+d-a-5d$

$\Rightarrow 60=-4d$

$\Rightarrow d=\frac{60}{-4}=-15$

अब प्रथम पद $\left(a_1\right)=a_2-d$

$\therefore a_1=38-(-15)=38+15$

$\Rightarrow a_1=53$

तथा तीसरा पद $\left(a_3\right)=a+(3-1)d$

$\Rightarrow a_3=53+2\times (-15)$

$\Rightarrow a_3=53-30=23$

चौथा पद $\left(a_4\right)=a+(4-1)\times d$

$\Rightarrow a_4=53+3\times (-15)$

$\Rightarrow a_4=53-45=8$

पाँचवां पद $\left(a_5\right)=a+(5-1)d$

$a_5=53+4\times (-15)$

$a_5=53-60=-7$

अत: रिक्त स्थान के पद क्रमश: $53,23,8$ तथा $-7$ हैं। उत्तर

Question. (4) AP: $3,8,13,18$, ..., का कौन सा पद $78$ है।?

हल:

दिया गया है, प्रथम पद $\left(a_1\right)$ = 3

तथा सार्व अंतर $\left(d\right)=8-3=13-8=5$

माना कि दिया गया पद $n$वां पद है, अर्थात $a_n=78$

अत:, $n=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$a_n=3+(n-1)\times 5$

$\therefore 78=3+(n-1)\times 5$

$\Rightarrow 78=3+5n-5$

$\Rightarrow 78=5n-2$

$\Rightarrow 5n=78+2$

$\Rightarrow n=\frac{80}{5}=16$

अत: दिया गया पद $16$वां पद है। उत्तर

Question. (5) निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ीयों में से प्रत्येक में कितने पद हैं?

(i) 7, 13, 19, ....., 205

हल:

दिया गया है, प्रथम पद $\left(a_1\right)=7$

तथा अंतिम पद $\left(l\right)$ = 205

दिये गये समांतर श्रेढ़ी के सूची के अनुसार

सार्व अंतर $\left(d\right)=a_2-a_1$

$\Rightarrow d=13-7=6$

माना कि अंतिम पद $n$वां पद है।

अत:, $n=?$

अब, $l=a_n=205$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore 205=7+(n-1)6$

$\Rightarrow 205=7+6n-6$

$\Rightarrow 1+6n=205$

$\Rightarrow 6n=205-4=204$

$\therefore n=\frac{204}{6}=34$

∴ अत: दिये गये समांतर श्रेढ़ी में कुल $34$ पद हैं।

Question. 5 (ii) $18,15\frac{1}{2},13,...,-47$

हल:

दिया गया है, प्रथम पद $\left(a_1\right)=18$

द्वितीय पद $\left(a_2\right)=15\frac{1}{2}=\frac{31}{2}$

तथा अंतिम पद $\left(l\right)=-47$

∴ सार्व अंतर $\left(d\right)=a_2-a_1=\frac{31}{2}-18$

$\Rightarrow d=\frac{31-36}{2}$

$\Rightarrow d=-\frac{5}{2}$

मान लिया गया कि दिया गया अंतिम पद $\left(l\right)=n$वां पद है

$\therefore n=?$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore a_n=18+(n-1)\times (-\frac{5}{2})$

$\Rightarrow -47=18+(-\frac{5n}{2}+\frac{5}{2})$

$\Rightarrow -47=18-\frac{5n}{2}+\frac{5}{2}$

$\Rightarrow -47-18-\frac{5}{2}=-\frac{5n}{2}$

$\Rightarrow -\frac{5n}{2}=-65-\frac{5}{2}$

$\Rightarrow -\frac{5n}{2}=\frac{-130-5}{2}$

$\Rightarrow -5n=-135$

$\therefore n=\frac{135}{5}=27$

∴ दिये गये समांतर श्रेढ़ी में कुल $27$ पद हैं। उत्तर

Question (6) क्या AP: $11,8,5,2$, .... का एक पद $-150$ है? क्यों?

हल:

दिया गया है, प्रथम पद $\left(a_1\right)=11$

तथा दूसरा पद $\left(a_2\right)=8$

चूँकि दी गई सूची समांतर श्रेढ़ी में है, अत:

सार्व अंतर $\left(d\right)=a_2-a_1$

$d=8-11=-3$

मान लिया कि दिया गया $-150=n$वां पद है।

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ, $a=$ प्रथम पद, $n=$ पदों की संख्या तथा $d=$ सार्व अंतर

$\therefore -150=11+(n-1)\times (-3)$

$\Rightarrow -150=11-3n+3$

$\Rightarrow -150=-3n+14$

$\Rightarrow -3n=-150-14=-164$

$\Rightarrow n=\frac{164}{3}=54\frac{2}{3}$

चूँकि $n$ जो पदों की संख्या है, एक पूर्णांक नहीं है, अत: दिया $-150$ दिये गये श्रेढ़ी का पद नहीं है। उत्तर