समांतर श्रेणी : NCERT प्रश्नावली 5.1 Q4(viii-xv)

 

NCERT प्रश्नावली 5.1 Q4(viii-xv)

प्रश्न संख्या. 4 (vii) $0,-4,-8,-12$ ......

हल:

दिया गया है, $0,-4,-8,-12$ ......

यहाँ, $a_2-a_1=-4-0=-4$

तथा, $a_3-a_2=-8-(-4)$

$=-8+4=-4$

तथा, $a_4-a_3=-12-(-8)$

$=-12+8=-4$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

यहाँ प्रथम पद $0$

तथा सार्व अंतर $=-4$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=0+(5-1)\times (-4)$

$=4\times (-4)=-16$

तथा छठा पद

$a_6=0+(6-1)\times (-4)$

$=5\times (-4)=-20$

तथा सातवां पद

$a_7=0+(7-1)\times (-4)$

$=6\times (-4)=-24$

∴ सार्व अंतर, $d=-4$; तथा $-16,-20$ एवं $-24$ दिये गये समांतर श्रेणी के तीन अन्य पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 4 (viii) $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ .....

हल:

दिया गया है, $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ .....

यहाँ, $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=0$

अत: सार्व अंतर (common difference) $d,=0$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

चूँकि सार्व अंतर (common difference) $=0$

∴ पंचम पद $\left(a_5\right)=-\frac{1}{2}$

तथा छठा पद, $\left(a_6\right)=-\frac{1}{2}$

तथा सातवां पद, $\left(a_7\right)=-\frac{1}{2}$

∴ सार्व अंतर (Common difference), $d=0$; तथा $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ एवं $-\frac{1}{2}$ दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं।

प्रश्न संख्या. 4 (ix) $1,3,9,27,$ .......

हल:

दिया गया है, $1,3,9,27$ ......

यहाँ, $a_2-a_1=3-1=2$

तथा, $a_3-a_2=9-3=6$

तथा, $a_4-a_3=27-9=18$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।

प्रश्न संख्या. 4 (x) $a,2a,3a,4a,$ .......

हल:

दिया गया है, $a,2a,3a,4a,$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=2a-a=a$

तथा, $a_3-a_2=3a-2a=a$

तथा, $a_4-a_3=4a-3a=a$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

∴ प्रथम पद $=a$

तथा सार्व अंतर (common difference) $=a$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=a+(5-1)\times a$

$\Rightarrow a_5=a+4a=5a$

तथा छठा पद

$a_6=a+(6-1)\times a$

$a_6=a+5a=6a$

तथा सातवां पद

$a_7=a+(7-1)\times a$

$a_7=a+6a=7a$

∴ सार्व अंतर (Common difference), $d=a$; तथा $5a,6a$ एवं $7a$ दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 4 (xi) $a,a^2,a^3,a^4,$ .......

हल:

दिया गया है, $a,a^2,a^3,a^4,$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=a^2-a$

$=a(a-1)$

तथा, $a_3-a_2=a^3-a^2$

$=a^2(a^2-1)$

तथा, $a_4-a_3=a^4-a^3$

$=a^3(a^2-1)$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।

 

प्रश्न संख्या. 4 (xii) $\sqrt{2},\sqrt{8},\sqrt{18},\sqrt{32}$ ....

हल:

दिया गया है, $\sqrt{2},\sqrt{8},\sqrt{18},\sqrt{32}$ ....

यहाँ, $a_2-a_1=\sqrt{8}-\sqrt{2}$

$=\sqrt{4\times 2}-\sqrt{2}$

$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

तथा, $a_3-a_2=\sqrt{18}-\sqrt{8}$

$=\sqrt{9\times 2}-\sqrt{4\times 2}$

$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

तथा, $a_4-a_3=\sqrt{32}-\sqrt{18}$

$=\sqrt{16\times 2}-\sqrt{9\times 2}$

$=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

यहाँ प्रथम पद $=\sqrt{2}$

तथा सार्व अंतर $=\sqrt{2}$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=\sqrt{2}+(5-1)\times \sqrt{2}$

$=\sqrt{2}+4\sqrt{2}$

$\Rightarrow a_5=5\sqrt{2}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि

${\left(a_5\right)}^2={\left(5\sqrt{2}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(a_5\right)}^2=25\times 2=50$

$\Rightarrow a_5=\sqrt{50}$

तथा छठा पद

$a_6=\sqrt{2}+(6-1)\times \sqrt{2}$

$=\sqrt{2}+5\sqrt{2}$

$\Rightarrow a_6=6\sqrt{2}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि

${\left(a_6\right)}^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(a_6\right)}^2=36\times 2=72$

$\Rightarrow a_6=\sqrt{72}$

तथा सातवां पद

$a_7=\sqrt{2}+(7-1)\times \sqrt{2}$

$=\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

$\Rightarrow a_7=7\sqrt{2}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि

${\left(a_7\right)}^2={\left(7\sqrt{2}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(a_7\right)}^2=49\times 2=98$

$\Rightarrow a_7=\sqrt{98}$

∴ सार्व अंतर, $d=\sqrt{2}$; तथा $\sqrt{50},\sqrt{72}$ एवं $\sqrt{98}$ दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के तीन अन्य पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 4 (xiii) $\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{9},\sqrt{12}$ ........

हल:

हल, $\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{9},\sqrt{12}$ ........

यहाँ, $a_2-a_1=\sqrt{6}-\sqrt{3}$

तथा, $a_3-a_2=\sqrt{9}-\sqrt{6}$

$=3-\sqrt{6}$

तथा, $a_4-a_3=\sqrt{12}-\sqrt{9}$

$=\sqrt{4\times 3}-3$

$=2\sqrt{3}-3$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।

प्रश्न संख्या. 4 (xiv) $1^2,3^2,5^2,7^2$ .......

हल:

दिया गया है, $1^2,3^2,5^2,7^2$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=3^2-1^2$

$=9-1=8$

तथा, $a_3-a_2=5^2-3^2$

$=25-9=16$

तथा, $a_4-a_3=7^2-5^2$

$=49-25=24$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।

प्रश्न संख्या. (xv) $1^2,5^2,7^2,73$ .......

हल :

दिया गया है, $1^2,5^2,7^2,73$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=5^2-1^2$

$=25-1=24$

तथा, $a_3-a_2=7^2-5^2$

$=49-25=24$

तथा, $a_4-a_3=73-7^2$

$=73-49=24$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=1^2+(5-1)\times 24$

$=1+4\times 24=1+96$

$\Rightarrow a_5=97$

तथा छठा पद

$a_6=1^2+(6-1)\times 24$

$=1+5\times 24=1+120$

$\Rightarrow a_6=121$

तथा सातवां पद

$a_7=1^2+(7-1)\times 24$

$=1+6\times 24=1+144$

$a_7=145$

∴ सार्व अंतर (Common difference), $d=24$; तथा $97,121$ एवं $144$ दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के अन्य तीन पद हैं।