समांतर श्रेणी : NCERT प्रश्नावली 5.1 Q3-4

 

NCERT प्रश्नावली 5.1 Q3-4

प्रश्न संख्या: (3) निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिये प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:

(i) $3,1,-1,-3,$ .....

हल:

यहाँ, प्रथम पद $\left(a_1\right)$ = 3

हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।

अत:, $a_2-a_1=1-3=-2$

तथा, $a_3-a_2=-1-1=-2$

तथा, $a_4-a_3=-3-(-1)=-3+1=-2$

यहाँ, $k$ के प्रत्येक मान के लिये $a_{k+1}-a_k=-2$ है।

∴ सार्व अंतर (Common difference) $=-2$

∴ प्रथम पद $=3$ तथा सार्व अंतर $=-2$ उत्तर

प्रश्न संख्या 3(ii) $-5,-1,3,7,$ .....

हल:

दिया गया है, $-5,-1,3,7,$ .....

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=-5$

हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।

अब, $a_2-a_1=-1-(-5)=-1+5=4$

तथा, $a_3-a_2=3-(-1)=3-1=4$

तथा, $a_3-a_3=7-3=4$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिए, $a_{k+1}-a_k=4$

∴ सार्व अंतर $=4$

अत: प्रथम पद $=-5$ तथा सार्व अंतर (common difference) $=4$ उत्तर

प्रश्न संख्या 3. (iii) $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3},$ ....

हल:

दिया गया है, $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3},$ ....

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=\frac{1}{3}$

हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।

अब, $a_2-a_1=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}$

$=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}$

तथा, $a_3-a_2=\frac{9}{3}-\frac{5}{3}$

$=\frac{9-5}{3}=\frac{4}{3}$

तथा, $a_4-a_3=\frac{13}{3}-\frac{9}{3}$

$=\frac{13-9}{3}=\frac{4}{3}$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिए $a_{k+1}-a_k=\frac{4}{3}$ है।

∴ सार्व अंतर $=\frac{4}{3}$

∴ प्रथम पद $=\frac{1}{3}$ तथा सार्व अंतर (Common difference) $=\frac{4}{3}$ उत्तर

प्रश्न संख्या 3 (iv) $0.6,1.7,2.8,3.9$ ......

हल:

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=0.6$

हम जानते हैं कि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछले पद का अंतर सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है।

अब, $a_2-a_1=1.7-0.6=1.1$

तथा, $a_3-a2=2.8-1.7=1.1$

तथा, $a_4-a_3=3.9-2.8=1.1$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिए, $a_{k+1}-a_k=1.1$ है।

∴ सार्व अंतर (Common difference) $=1.1$

अत:, प्रथम पद $=0.6$ तथा सार्व अंतर (common difference) $=1.1$ उत्तर

प्रश्न संख्या 4. निम्नलिखित में से कौन कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

(i) $2,4,8,16,$ .....

हल:

यहाँ, $a_2-a_1=4-2=2$

तथा, $a_3-a_2=8-4=4$

तथा, $a_4-a_3=16-8=8$

यहाँ चूँकि $k$ के प्रत्येक मान के लिए $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है। अत: दी गई सूची समांतर श्रेणी [Arithmetic progression (A.P.)] में नहीं है।

प्रश्न संख्या 4. (ii) $2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},$ ......

हल:

यहाँ, $a_2-a_1=\frac{5}{2}-2$

$=\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}$

तथा, $a_3-a_2=3-\frac{5}{2}$

$=\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}$

तथा, $a_4-a_3=\frac{7}{2}-3$

$=\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}$

यहाँ चूकि प्रत्येक अगले पद तथा उससे पिछ्ले पद का अंतर समान है, अत: दी गई सूची समांतर श्रेणी [Arithmetic progression (A.P.) ] में है।

यहाँ प्रथम पद $a_1=2$

तथा सार्व अंतर $=\frac{1}{2}$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पाँचवा पद

$a_5=2+(5-1)\times \frac{1}{2}$

$=2+4\times \frac{1}{2}=2+2$

$\therefore a_5=4$

छठा पद

$a_6=2+(6-1)\times \frac{1}{2}$

$=2+5\times \frac{1}{2}=\frac{4+5}{2}$

$\therefore a_6=\frac{9}{2}$

तथा सातवां पद

$a_7=2+(7-1)\times \frac{1}{2}$

$=2+6\times \frac{1}{2}=2+3$

$\therefore a_7=5$

∴ अत: सार्व अंतर $d=\frac{1}{2}$ तथा $4,\frac{9}{2},$ एवं $5$ दिये गये समांतर श्रेणी का तीन अन्य पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या 4. (iii) $-1.2,-3.2,-5.2,-7.2,$ .......

हल:

दिया गया है, $-1.2,-3.2,-5.2,-7.2,$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=-3.2-(-1.2)$

$=-3.2+2.2=-2$

तथा, $a_3-a_2=-5.2-(-3.2)$

$=-5.2+3.2=-2$

तथा, $a_4-a_3=-7.2-(-5.2)$

$=-7.2+5.2=-2$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

यहाँ प्रथम पद $a_1=-1.2$

तथा सार्व अंतर e $=-2$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=-1.2+(5-1)\times (-2)$

$=-1.2+4\times (-2)=-1.2-8$

$\Rightarrow a_5=-9.2$

तथा छठा पद

$a_6=-1.2+(6-1)\times (-2)$

$=-1.2+5\times (-2)=-1.2-10$

$\therefore a_6=-11.2$

तथा सातवां पद

$a_7=-1.2+(7-1)\times (-2)$

$=-1.2+6\times (-2)=-1.2-12$

$\therefore a_7=-13.2$

∴ सार्व अंतर, $d=-2$; तथा $-9.2,-11.2$ एवं $-13.2$ दिये गये समांतर श्रेणी के अन्य तीन पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 4 (iv) $-10,-6,-2,2,$ .......

हल:

दिया गया है, $-10,-6,-2,2,$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=-6-(-10)$

$=-6+10=4$

तथा, $a_3-a_2=-2-(-6)$

$=-2+6=4$

तथा, $a_4-a_3=2-(-2)$

$=2+2=4$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

यहाँ प्रथम पद, $\left(a_1\right)=-10$

तथा सार्व अंतर $=4$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=-10+(5-1)\times 4$

$=-10+4\times 4=-10+16$

$\therefore a_5=6$

तथा छठा पद

$a_6=-10+(6-1)\times 4$

$=-10+5\times 4=-10+20$

$\therefore a_6=10$

तथा सातवां पद

$a_7=-10+(7-1)\times 4$

$=-10+6\times 4=-10+24$

$\therefore a_7=14$

∴ सार्व अंतर, $d=4$; तथा $6,10$ एवं $14$ दिये गये समांतर श्रेणी के अन्य तीन पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या. 4. (v) $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2},3+3\sqrt{2}$ .....

हल:

दिया गया है, $3,3+\sqrt{2},3+2\sqrt{2},3+3\sqrt{2}$ .....

यहाँ, $a_2-a_1=3+\sqrt{3}-3=\sqrt{2}$

तथा, $a_3-a_2=3+2\sqrt{2}-(3+\sqrt{2})$

$=3+2\sqrt{2}-3-\sqrt{2}$

$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

तथा, $a_4-a_3=3+3\sqrt{2}-(3+2\sqrt{2})$

$=3+3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}$

$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में है।

यहाँ प्रथम पद $\left(a_1\right)=3$

तथा सार्व अंतर $=\sqrt{2}$

हम जानते हैं कि, $a_n=a+(n-1)d$ जहाँ $n$ पदों की संख्या है।

∴ पंचम पद

$a_5=3+(5-1)\times \sqrt{2}$

$=3+4\sqrt{2}$

तथा छठा पद

$a_6==3+(6-1)\times \sqrt{2}$

$=3+5\sqrt{2}$

तथा सातवां पद

$a_7==3+(7-1)\times \sqrt{2}$

$=3+6\sqrt{2}$

∴ सार्व अंतर (Common difference), $d=\sqrt{2}$ ; तथा $3+4\sqrt{2},3+5\sqrt{2}$ एवं $3+6\sqrt{2}$ दिये गये समांतर श्रेणी (A.P.) के तीन अन्य पद हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या 4. (vi) $0.2,0.22,0.222,0.2222,$ .......

हल:

दिया गया है, $0.2,0.22,0.222,0.2222,$ .......

यहाँ, $a_2-a_1=0.22-0.2$

$=0.02$

तथा, $a_3-a_2=0.222-0.22$

$=0.002$

तथा, $a_4-a_3=0.2222-0.222$

$=0.0002$

यहाँ $k$ के प्रत्येक मान के लिएय $a_{k+1}-a_k$ बराबर नहीं है, अत: अंकों की दी गई सूची समांतर श्रेणी (AP) में नहीं है।