NCERT प्रश्नावली 4.3
प्रश्न संख्या (1) यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
प्रश्न संख्या (1) (i) 2x2 – 7x + 3 = 0
हल
दिया गया है, 2x2 – 7x + 3 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये द्विघात समीकरण के अनुसार, a = 2, b = 7 and c = 3
∴ b2 – 4ac = 72 – 4 × 2 × 3
= 49 – 24 = 25
चूँकि, b2 – 4ac > 0 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
दिया गया द्विघात समीकरण है
2x2 – 7x + 3 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने के क्रम में, दिये गये द्विघात समीकरण में दोनों तरफ 2 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
x2 – 72 x + 32 = 0
⇒ x2 – 2 (72) x + 32 = 0
⇒ x2 – 2 (72) x = – 32
दोनों तरफ (74) 2 को जोड़ने पर हम पाते हैं,
x2 – 2 (72)x + (74) 2 = (74) 2 – 32
⇒ (x – 74) 2 = 4916 – 32
⇒ (x – 74) 2 = 49 – 2416
⇒ (x – 74) 2 = 2516
⇒ x – 74 = 2516
⇒ x – 74 = ± 54
⇒ x = 54 + 74 or x = – 54 + 74
⇒ x = 124 or x = 24
⇒ x = 3 or x = 12
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल हैं, 3 तथा 12
प्रश्न संख्या (1) (ii)2x2 + x – 4 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 + x – 4 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये द्विघात समीकरण में, a = 2, b = 1 and c = – 4
∴ D = b2 – 4ac
⇒ D = 12 – 4 × 2 × (– 4)
⇒ D = 1 + 32 = 33
Since, D > 0 thus two roots of the given equation exist
चूँकि, D = b2 – 4ac > 0 अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
दिया गया द्विघात समीकरण है, 2x2 + x – 4 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने के क्रम में दिये गये द्विघात समीकरण के दोनों तरफ से 2 उभयनिष्ठ लेने पर
2(x2 + x2 – 42) = 0
⇒ x2 + 12 x – 2 = 0
⇒ x2 + 2 × 14 x – 2 = 0
⇒ x2 + 2 × 14 x = 2
उपरोक्त समीकरण के दोनों तरफ (14) 2 जोड़ने पर
⇒ x2 + 2 × 14 x + (14) 2 = 2 + (14) 2
⇒ (x + 14) 2 = 2 + 116
⇒ ( x + 14) 2 = 32 + 116
⇒ ( x + 14) 2 = 3316
⇒ x + 14 = ± √334
⇒ x = ± √334 – 14
⇒ x = √334 – 14 or – √334 – 14
⇒ x = √33 – 14 or – √33 – 14
अत: दिये गये समीकरन के दो मूल, √33 – 14 तथा – √33 – 14 हैं।
प्रश्न संख्या (1) (iii)4x2 + 4 √3x + 3 = 0
हल:
दिया गया है, 4x2 + 4 √3x + 3 = 0
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये समीकरण में, a = 4, b = 4 √3 and c = 3
⇒ D = (4 √3)2 – 4 × 4 × 3
⇒ D = 48 – 48 = 0
चूँकि, D = 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही वास्तविक मूल होगा।
अब, 4x2 + 4 √3x + 3 = 0
दिये गये द्विघात समीकरण में 4 उभयनिष्ठ लेने पर
⇒ 4 (x2 + 4 √34 x + 34 ) = 0
⇒ x2 + √3x + 34 = 0
पूर्ण बनाने के क्रम में दिये गये द्विघात समीकरण के मध्य पद को 2 से गुणा तथा भाग करने पर
⇒ x2 + 2(√32)x + 34 = 0
⇒ x2 + 2(√32)x = – 34
⇒ x2 + 2(√32) x = – 34
पूर्ण बनाने के क्रम में उपरोक्त समीकरण के दोनों तरफ (√32)2 जोड़ने पर हम पाते हैं,
x2 + 2(√32) x + (√32)2 = – 34 + (√32)2
⇒ (x + √32)2 = – 34 + 34
⇒ (x + √32)2 = 0
⇒ x + √32 = 0
⇒ x = – √32
अत: दिये गये समीकरण का मूल है – √32 उत्तर
प्रश्न (1) (iv)2x2 + x + 4 = 0
हल:
यह पता करने के लिए कि दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल अस्तित्व में हैं या नहीं, हमें D = b2 – 4ac के मान की गणना करनी होगी
दिये गये समीकरण में, a = 2, b = 1 and c = 4
∴ D = 12 – 4 × 2 × 4
⇒ D = 1 – 32 = 31
चूँकि D
प्रश्न (2) उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिये गये द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिये।
प्रश्न संख्या (i) 2x2 – 7x + 3 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 – 7x + 3 = 0
यहाँ, a = 2, b = – 7 and c = 3
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c2 a
अत: दिये गये द्विघात समीकरण का मूल
= – (– 7) ±√(– 7)2 – 4 × 2 × 32 × 2
= 7 ± √49 – 244
= 7 ± √254
= 7 ± 54
= (7 + 5) 4 and 7 – 54
= 124 and 24
= 3 and 12
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के मूल, 3 तथा 12 हैं।
प्रश्न संख्या (2)(ii) 2x2 + x – 4 = 0
उत्तर:
दिया गया है, 2x2 + x – 4 = 0
यहाँ, a = 2, b = 1 and c = – 4
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c2 a या – b ± √D2 a
जहाँ, D = b2 – 4ac
a, b तथा c, का मान रखने पर
D = 12 – 4 × 2 × (– 4)
⇒ D = 1 – 8 × (–4)
⇒ D = 1 + 32 = 33
अत: दिये गये समीकरण के मूल
= – b ±√(D)2 a
अब D, b तथा a का मान रखने पर हम पाते हैं कि
– 1 ±√332 × 2
– 1 ±√334
अत: दिये गये समीकरण के मूल – 1 + √334 तथा – 1 – √334 हैं।
प्रश्न (2)(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
हल:
दिया गया है, 4x2 + 4 √3x + 3 = 0
यहाँ, a = 4, b = 4 √3 and c = 3
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c2 a या – b ±√D2 a
जहाँ, D = b2 – 4ac
a, b तथा c, का मान रखने पर
⇒ D = (4 √3) 2 – 4 × 4 × 3
⇒ D = 48 – 48 = 0
अत: दिये गये समीकरण का मूल, = – b ±√D2 a
= – 4 ±√02 × 4
= – 4 √38 = √32
अत: दिये गये द्विघात समीकरण का मूल है √32
प्रश्न (2)(iv) 2x2 + x + 4 = 0
हल:
दिया गया है, 2x2 + x + 4 = 0
यहाँ, a = 2, b = 1 तथा c = 4
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल =– b ±√b2 – 4 a c2 a या – b ±√D2 a
जहाँ, D = b 2 – 4ac
a, b तथा c, का मान रखने पर
D = 12 – 4 × 2 × 4
⇒ D = 1 – 32 = – 31
चूँकि D < 0, अत: दिये गये द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होगें
प्रश्न संख्या (3) निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिये:
(i) x – 1x = 3, x ≠ 0
हल:
दिया गया है, x – 1x = 3
⇒ x – 1x – 3 = 0
⇒ x2 – 1 – 3xx = 0
⇒ x2 – 3x – 1 = 0
यहाँ, a = 1, b = – 3 and c = – 1
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये मूल = – b ±√b2 – 4 a c2 a या – b ±√D2 a
जहाँ, D = b2 – 4ac
a, b तथा c, का मान रखने पर
मूल = – (– 3) ± √(3)2 – 4 × 1 × (–1)2 × 1
= 3 ± √9 + 42
= 3 ± √132
∴ 3 + √132 तथा 3 – √132 दिये गये द्विघात समीकरण के मूल हैं।
प्रश्न (3)(ii) 1x + 4 – 1x – 7 = 1130, ≠ = – 4, 7
हल:
दिया गया है, 1x + 4 – 1x – 7 = 1130
x – 7 – (x + 4)(x + 4)(x – 7) = 1130
⇒ x – 7 – x – 4)(x + 4)(x – 7) = 1130
⇒ – 11(x + 4)(x – 7) = 1130
बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर
⇒ 11(x + 4)(x – 7) = – 11 × 30
⇒ 11(x2 – 7x + 4x – 28) = – 330
⇒ 11(x2 – 3x – 28) = – 330
⇒ 11x2 – 33x – 308 = – 330
⇒ 11x2 – 33x – 308 + 330 = 0
⇒ 11x2 – 33x + 22 = 0
11 उभयनिष्ठ लेने पर
⇒ 11(x2 – 3x + 2) = 0
x2 – 3x + 2 = 0
मध्य पद को विस्तारित करने पर
⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0
⇒ x(x – 2)– 1(x – 2)= 0
⇒ (x – 1)(x – 2) = 0
अब यदि x – 1 = 0
∴ x = 1
और यदि x – 2 = 0
∴ x = 2
अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो मूल 1 तथा 2 हैं - उत्तर
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