दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : NCERT प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक)(2)

 

NCERT प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक)(2)

प्रश्न संख्या: 6. समीकरणों $5x-y=5$ और $3x-y=3$ के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और $y$– अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।

हल:

दिया गया है

$5x-y=5$ ; तथा $3x-y=3$

अब समीकरण $5x-y=5$ से

$\Rightarrow 5x=5+y$

$\Rightarrow x=\frac{5+y}{5}$

इस समीकरण के विभिन्न मान के हल का टेबल

$x$	0	1	2
$y$	–5	0	5

तथा समीकरण, $3x-y=3$ से

$\Rightarrow 3x=3+y$

$\Rightarrow x=\frac{3+y}{3}$

इस समीकरण के हल का टेबल

$x$	0	1	2
$y$	–3	0	3

अत: रेखाओं और $y$–अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (1, 0), (0, –5) और (0, –3) हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या: 7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) $px+qy=p-q$

$qx-py=p+q$

हल:

दिया गया है, $px+qy=p-q$ -------- (i)

तथा, $qx-py=p+q$ -------- (ii)

समीकरण (i) को $p$ से गुणा करने पर

$p(px+qy=p-q)$

$\Rightarrow p^{2}x+pqy=p^2-pq$ ----------- (iii)

समीकरण (ii) को $q$ से गुणा करने पर

$q(qx-py=p+q)$

$\Rightarrow q^{2}x-qpy=pq+q^2$ --------------- (iv)

अब समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर

$(p^{2}x+pqy)+(q^{2}x-pqy)$ $=(p^2-pq)+(pq+q^2)$

$\Rightarrow p^{2}x+pqy+q^{2}x-pqy$ $=p^2-pq+pq+q^2$

$\Rightarrow p^{2}x+q^x=p^2+q^2$

$\Rightarrow x(p^2+q^2)=p^2+q^2$

$\Rightarrow x=\frac{p^2+q^2}{p^2+q^2}$

$\Rightarrow x=1$

अब $x=1$ मान को समीकरण (i) में रखने पर

$p\times 1+qy=p-q$

$\Rightarrow p+qy=p-q$

$\Rightarrow qy=p-q-p$

$\Rightarrow qy=-q$

$\Rightarrow y=\frac{-q}{q}$

$\Rightarrow y=-1$

अत:, $x=1$ और $y=-1$ उत्तर

(ii) $ax+by=c$

$bx+ay=1+c$

दिया गया है, $ax+by=c$ ----------- (i)

$bx+ay=1+c$ ----------- (ii)

समीकरण (i) को $a$ से गुणा करने पर हम पाते हैं

$a(ax+by=c)$

$\Rightarrow a^{2}x+aby=ac$ ---------- (iii)

समीकरण (ii) को $b$ से गुणा करने पर हम पाते हैं

$b(bx+ay=1+c)$

$\Rightarrow b^{2}x+aby=b+bc$ ------------ (iv)

अब समीकरण (iii) `– समीकरण (iv)

$a^{2}x+aby-(b^{2}x+aby)=ac-(b+bc)$

$\Rightarrow a^{2}x+aby-b^{2}x-aby=ac-b-bc$

$\Rightarrow x(a^2-b^2)=c(a-b)-b$

$\Rightarrow x=\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}$ ---------- (v)

अब $x$ के मान को समीकरण (i) [$ax+by=c$] में रखने पर

$a\left\{\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}\right\}+by=c$

$\Rightarrow \frac{ac(a-b)-ab}{a^2-b^2}+by=c$

$\Rightarrow by=c-\frac{ac(a-b)-ab}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{c(a^2-b^2)-(ac(a-b)-ab)}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{a^{2}c-b^c-(a^{2}c-acb-ab)}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{a^{2}c-b^{2}c-a^{2}c+abc+ab}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{abc-b^{2}c+ab}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{bc(a-b)+ab}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow by=\frac{b(c(a-b)+a)}{a^2-b^2}$

$\Rightarrow y=\frac{b(c(a-b)+a)}{b(a^2-b^2)}$

$\Rightarrow y=\frac{c(a-b)+a}{a^2-b^2}$

अत:, $x=\frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}$ और

$y=\frac{c(a-b)+a}{a^2-b^2}$ उत्तर

(iii) $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$

$ax+by=a^2+b^2$

हल:

दिया गया है, $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$ ----------- (i)

$ax+by=a^2+b^2$ --------- (ii)

समीकरण (i) से

$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$

$\Rightarrow \frac{bx-ay}{ab}=0$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow bx-ay=0$ ------- (iii)

इस समीकरण को $b$ से गुणा करने पर

$b(bx-ay=0)$

$\Rightarrow b^{2}x-aby=0$ ---------- (iv)

समीकरण (ii) को $a$ से गुणा करने पर

$a(ax+by=a^2+b^2)$

$\Rightarrow a^{2}x+aby=a^3+a{b}^2$ -------- (v)

अब समीकरण (iv) तथा (v) को जोड़ने पर

$b^{2}x-aby+a^{2}x+aby=a^3+a{b}^2$

$\Rightarrow b^{2}x+a^{2}x=a^3+a{b}^2$

अब $x$ को बायाँ पक्ष तथा $a$ को दायाँ पक्ष से उभयनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow x(b^2+a^2)=a(a^2+b^2)$

$\Rightarrow x=a\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}$

$\Rightarrow x=a$

अब $x=a$ मान को समीकरण (iii) में रखने पर

$\Rightarrow ba-ay=0$

$\Rightarrow ay=ba$

$\Rightarrow y=\frac{ba}{a}$

$\Rightarrow y=b$

अत:, $x=a$ और $y=b$ उत्तर

(iv) $(a-b)x+(a+b)y=a^2-2ab-b^2$

$(a+b)(x+y)=a^2+b^2$

हल:

दिया गया है,

$(a-b)x+(a+b)y=a^2-2ab-b^2$ ---------- (i)

$(a+b)(x+y)=a^2+b^2$ ----------- (ii)

$\Rightarrow (a+b)x+(a+b)y=a^2+b^2$ ---------- (iii)

समीकरण (iii) को समीकरण (i) में से घटाने पर

$\{(a-b)x+(a+b)y\}-\{(a+b)x-(a+b)y\}=(a^2-2ab-b^2)-(a^2+b^2)$

$\Rightarrow (a-b)x+(a+b)y-(a+b)x-(a+b)y=a^2-2ab-b^2-a^2-b^2$

$\Rightarrow (a-b)x-(a+b)y=-2ab-b^2$

बायाँ पक्ष से $x$ तथा दायाँ पक्ष से $-2b$ उभयनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow x(a-b-a-b)=-2b(a+b)$

$\Rightarrow -2bx=-2b(a+b)$

$\Rightarrow x=\frac{-2b(a+b)}{-2b}$

$\Rightarrow x=a+b$

अब $x=a+b$ मान को समीकरण (i) में रखने पर

$(a-b)(a+b)+(a+b)y=a^2-2ab-b^2$

$\Rightarrow a^2-b^2+(a+b)y=a^2-2ab-b^2$

$\Rightarrow (a+b)y=a^2-2ab-b^2-(a^2-b^2)$

$\Rightarrow (a+b)y=a^2-2ab-b^2-a^2+b^2$

$\Rightarrow (a+b)y=-2ab$

$\Rightarrow y=\frac{-2ab}{a+b}$

अत:, $x=(a+b)$ तथा $y=\frac{-2ab}{a+b}$ उत्तर

(v) $152x-378y=-74$

$-378x+152y=-604$

हल:

दिया गया है, $152x-378y=-74$ ---------- (i)

$-378x+152y=-604$ ---------- (ii)

समीकरण (i) को 378 से गुणा करने पर

$378(152x-378y=-74)$

$\Rightarrow 57456x-142884y=-27972$ -------- (iii)

समीकरण (ii) को 152 से गुणा करने पर

$152(-378x+152y=-604)$

$\Rightarrow -57456x+23104y=-91808$ --------- (iv)

समीकरण (iii) तथा समीकरण (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं

$57456x-142884y-57456x+23104y=-27972-91808$

$\Rightarrow -142884y+23104y=-119780$

$\Rightarrow -119780y=-119780$

$\Rightarrow y=\frac{-119780}{-119780}$

$\Rightarrow y=1$

अब $y=1$ मान को समीकरण (i) में रखने पर

$152x-378\times 1=-74$

$\Rightarrow 152x-378=74$

$\Rightarrow 152x=-74+378$

$\Rightarrow 152x=304$

$\Rightarrow x=\frac{304}{152}$

$\Rightarrow x=2$

अत:, $x=2$ और $y=1$ उत्तर

प्रश्न संख्या: 8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति). इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न में दिये गये चित्र के अनुसार, चक्रीय चतुर्भुज के लिए

$\angle A=4y+20$

$\angle B=3y-5$

$\angle C=-4x$

$\angle D=-7x+5$

हम जानते हैं कि चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग ${180}^o$ होता है।

यहाँ, $\angle A$ तथा $\angle C$ आमने सामने के कोण हैं।

अत:, $\angle A+\angle C={180}^o$

अब चित्र के अनुसार $\angle A$ तथा $\angle C$ के मान रखने पर

$4y+20+(-4x)=180$

$\Rightarrow 4y-4x=180-20$

बायाँ पक्ष से 4 उभयनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow 4(y-x)=160$

$\Rightarrow y-x=\frac{160}{4}$

$\Rightarrow y-x=40$ ------- (i)

अब, $\angle B$ और $\angle D$ आमने सामने के कोण हैं।

अत:, $\angle B+\angle D=180$

[∵ एक चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग = 180 डिग्री होता है।]

कोण $\angle B$ तथा $\angle D$, के मानों को रखने पर

$3y-5+(-7x+5)=180$

$\Rightarrow 3y-5-7x+5=180$

$\Rightarrow 3y-7x=180$ --------- (ii)

समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर

$3(y-x=40)$

$\Rightarrow 3y-3x=120$ ------- (iii)

अब समीकरण (iii) को समीकरण (ii) से घटाने पर

$(3y-7x)-(3y-3x)=180-120$

$\Rightarrow 3y-7x-3y+3x=60$

$\Rightarrow -4x=60$

$\Rightarrow x=\frac{60}{-4}=-15$

अब $x=-15$ मान को समीकरण (i) [$y-x=40$] में रखने पर

$y-(-15)=40$

$\Rightarrow y+15=40$

$\Rightarrow y=40-15=25$

अब जैसा कि दिया गया है,

$\angle A=4y+20$

अब $y=25$ के मान को रखने पर

$\angle A=4\times 25+20=100+20$

$\Rightarrow \angle A={120}^o$

तथा जैसा कि दिया गया है, $\angle B=3y-5$

अत: $y=25$ मान को रखने पर

$\angle B=3\times 25-5=75-5$

$\Rightarrow \angle B={70}^o$

तथा चूँकि, $\angle C=-4x$

अत: $x=-15$ मान को रखने पर

$\angle C=-4\times (-15)={60}^o$

तथा चूँकि, $\angle D=-7x+5$

अत: $x=-15$ मान को इसमें रखने पर

$\angle D=-7\times (-15)+5=105+5$

$\Rightarrow \angle D={110}^o$

अत:, $\angle A={120}^o,\angle B={70}^o$, $\angle C={60}^o$ और $\angle D={110}^o$ उत्तर