दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : NCERT प्रश्नावली 3.6(भाग:2)

 

NCERT प्रश्नावली 3.6(भाग:2)

प्रश्न संख्या:1. (vii) $\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$

$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$

हल:

मान लिया कि, $\frac{1}{x+y}=p$ and $\frac{1}{x-y}=q$

दिया गया है, $\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$

अब $\frac{1}{x+y}=p$ और $\frac{1}{x-y}=q$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$10p+2q=4$ ---------- (i)

$\Rightarrow 10p=4-2q$

$\Rightarrow p=\frac{4-2q}{10}$ --------(ii)

तथा दिया गया है, $\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$

अब $\frac{1}{x+y}=p$ और $\frac{1}{x-y}=q$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$15p-5q=-2$ ---------- (iii)

अब $p=\frac{4-2q}{10}$ मान को प्रतिस्थापित करने पर समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

$15\times \frac{4-2q}{10}-5q=-2$

$\Rightarrow \frac{60-30q-50q}{10}=-2$

$\Rightarrow \frac{60-80q}{10}=-2$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$60-80q=-2\times 10=-20$

$\Rightarrow -80q=-20-60=-80$

$\Rightarrow q=\frac{-80}{-80}=1$

अब $q=1$ मान को समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$10p+2q=4$ ---------- (i)

$\Rightarrow 10p+2\times 1=4$

$\Rightarrow 10p=4-2$

$\Rightarrow 10p=2$

$\Rightarrow p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

अब चूँकि $p=\frac{1}{x+y}$

$\therefore \frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$\Rightarrow 5=x+y$

$\Rightarrow x+y=5$ ------ (iv)

तथा चूँकि $q=1$ और $q=\frac{1}{x-y}$

अत:, $\frac{1}{x-y}=1$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$x-y=1$ ---------- (v)

समीकरण (iv) और समीकरण (v) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

$x+y+x-y=5+1$

$\Rightarrow 2x=6$

$\Rightarrow x=\frac{6}{2}=3$

अब $x=3$ को समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$3-y=1$

$\Rightarrow -y=1-3=-2$

$\Rightarrow y=2$

अत:, $x=3$ और $y=2$ उत्तर

(viii) $\frac{1}{3x+y}+\frac{1}{3x-y}=\frac{3}{4}$

$\frac{1}{2(3x+y)}-\frac{1}{2(3x-y)=\frac{-1}{8}}$

हल:

मान लिया कि, $\frac{1}{3x+y}=p$ और $\frac{1}{3x-y}=q$

दिया गया है, $\frac{1}{3x+y}+\frac{1}{3x-y}=\frac{3}{4}$

अत: $\frac{1}{3x+y}=p$ तथा $\frac{1}{3x-y}=q$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow p+q=\frac{3}{4}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$\Rightarrow 4p+4q=3$----------(i)

$\Rightarrow 4p=3-4q$

$\Rightarrow p=\frac{3-4q}{4}$ ----------- (ii)

तथा दिया गया है, $\frac{1}{2(3x+y)}-\frac{1}{2(3x-y)=\frac{-1}{8}}$

$\frac{1}{3x+y}=p$ तथा $\frac{1}{3x-y}=q$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{p}{2}-\frac{q}{2}=\frac{-1}{8}$

$\Rightarrow \frac{p-q}{2}=\frac{-1}{8}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$p-q=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}$

पुन: क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$4p-4q=-1$ --------- (iii)

$p=\frac{3-4q}{4}$ मान को रखने पर हम पाते हैं कि

$4\times \frac{3-4q}{4}-4q=-1$

$\Rightarrow \frac{12-16q-16q}{4}=-1$

$\Rightarrow \frac{12-32q}{4}=-1$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$12-32q=-4$

$\Rightarrow 32q=12+4=16$

$\Rightarrow q=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$

अब $q=\frac{1}{2}$ को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 4p+4q=3$----------(i)

$\Rightarrow 4p+4\times \frac{1}{2}=3$

$\Rightarrow 4p+2=3$

$\Rightarrow 4p=3-2=1$

$\Rightarrow p=\frac{1}{4}$

अब $p=\frac{1}{3x+y}$ को प्रतिस्थातिप करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{3x+y}=\frac{1}{4}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$3x+y=4$ --------- (v)

चूँकि, $q=\frac{1}{2}$

अत: $q=\frac{1}{3x-y}$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{3x-y}=\frac{1}{2}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$3x-y=2$ ---------- (vi)

समीकरण (v) तथा समीकरण (vi) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

$(3x+y)+(3x-y)=4+2$

$\Rightarrow 3x+y+3x-y=6$

$\Rightarrow 6x=6$

$\Rightarrow x=\frac{6}{6}=1$

अब $x=1$ को समीकरण (vi) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3\times 1-y=2$

$\Rightarrow 3-y=2$

$\Rightarrow y=3-2=1$

अत:, $x=1$ और $y=1$ उत्तर

प्रश्न संख्या : 2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकतीहै। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि रितु की चाल $=xkm/h$

तथा मान लिया कि धारा की चाल $=ykm/h$

अत: रितु की धारा के प्रतिकूल चाल $=x-ykm/h$

तथा रितु की धारा के अनुकूल चाल $=x+ykm/h$

हम जानते हैं कि, समय × चाल = दूरी

अत: प्रश्न के अनुसार जब रितु धारा के अनुकूल तैरती है

$2(x+y)=20$

$\Rightarrow x+y=\frac{20}{10}$

$\Rightarrow x+y=10$ ----------- (i)

तथा प्रश्न के अनुसार रितु जब धारा के प्रतिकूल तैरती है/p>

$2(x-y)=4$

$\Rightarrow x-y=\frac{4}{2}$

$\Rightarrow x-y=2$ ------------- (ii)

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर

$(x+y)+(x-y)=10+2$

$\Rightarrow x+y-x-y=12$

$\Rightarrow 2x=12$

$\Rightarrow x=\frac{12}{2}=6$

अब $x=6$ मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$6+y=10$

$\Rightarrow y=10-6=4$

अत: रितु की की स्थिर जल में तैरने की चाल $=6km/h$ तथा धारा की चाल $=4km/h$ उत्तर

(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरूष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरूष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरूष कितना समय लेगा।

हल:

मान लिया कि 1 कार्य को करने में एक महिला को लगने वाला दिन $=x$

अत: 1 दिन में महिला द्वारा किया जाने वाला कार्य $=\frac{1}{x}$

पुन: मान लिया कि एक पुरूष को 1 कार्य करने में लगने वाला दिन $=y$

अत: एक पुरूष द्वार 1 दिन में किया जाने वाला कार्य = $\frac{1}{y}$

प्रश्न में दिया गया है

2 महिला तथा 5 पुरूष द्वारा कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय = 4 दिन

अत:,

$4(\frac{2}{x}+\frac{5}{y})=1$

$\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ ---------- (i)

तथा पुन: प्रश्न में दिया गया है

3 महिला तथा 6 पुरूष को उसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय = 3 दिन

अत:,

$3(\frac{3}{x}+\frac{6}{y})=1$

$\Rightarrow \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}$ --------- (ii)

अब, मान लिया कि $\frac{1}{x}=p$ and $\frac{1}{y}=q$.

अत: $\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ के मान को रखने पर हम पाते हैं कि

$3p+6q=\frac{1}{3}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$3(3p+6q)=1$

$\Rightarrow 9p+18q=1$ ---------- (iii)

$\Rightarrow 9p=1-18q$

$\Rightarrow p=\frac{1-18q}{9}$ -------- (iv)

$\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ के मान को समीकरण (i) में रखने पर

$\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ ---------- (i)

$\Rightarrow 2p+5q=\frac{1}{4}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$4(2p+5q)=1$

$\Rightarrow 8p+20q=1$ ------ (v)

समीकरण (iv) में $p=\frac{1-18q}{9}$ रखने पर

$8\times \frac{1-18q}{9}+20q=1$

$\Rightarrow \frac{8-144q+180q}{9}=1$

$\Rightarrow (8+36q)9=1$

$\Rightarrow 8+36q=9$

$\Rightarrow 36q=9-8=1$

$\Rightarrow q=\frac{1}{36}$ ---------- (vi)

अब $q=\frac{1}{y}$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$y=36$

अब $q=\frac{1}{36}$ को समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 8p+20q=1$ ------ (v)

$\Rightarrow 8p+20\times \left(\frac{1}{36}\right)=1$

$\Rightarrow 8p+\frac{20}{36}=1$

$\Rightarrow 8p+\frac{5}{9}=1$

$\Rightarrow 8p=1-\frac{5}{9}$

$\Rightarrow 8p=\frac{9-5}{9}$

$\Rightarrow 8p=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow p=\frac{4}{9\times 8}$

$\Rightarrow p=\frac{1}{9\times 2}$

$\Rightarrow p=\frac{1}{18}$

$p=\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{x}=\frac{1}{18}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$x=18$

अत: एक महिला द्वारा काम को पूरा करने में लगने वाला समय = 18 दिन

अत: एक पुरूष द्वारा काम को पूरा करने में लगने वाला समय = 36 दिन

अत: उत्तर=, $18$ दिन और $36$ दिन

(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वार तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि रेलगाड़ी की चाल $=tkm/h$

तथा मान लिया कि बस की चाल $=bkm/h$

दिया गया है, कुल दूरी =300 km

Case : 1

जब कुल लगने वाला समय = 4 घंटे

रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 60km

अत: बस द्वारा तय की गई दूरी = 300 km –60 km=240km

अब हम जानते हैं कि समय = दूरी /चाल

अत:, $4=\frac{60}{t}+\frac{240}{b}$

मान लिया कि, $\frac{1}{t}=p$ तथा $\frac{1}{b}=q$

अत: $\frac{1}{t}$ और $\frac{1}{b}$ के लिये लिए गये मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$60p+240q=4$ ------------ (i)

स्थिति : 2

जब लगने वाला समय = 10 मिनट अधि = 4 घंटा + 10/60 घंटा

$=4+\frac{1}{6}=\frac{24+1}{6}=\frac{25}{6}$ घंटा

रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 100 km

अत: बस द्वारा तय की गई दूरी = 300 km – 100 km = 200 km

अब हम जानते हैं कि समय = दूरी /चाल

अत:, $\frac{25}{6}=\frac{100}{t}+\frac{200}{b}$

अब $\frac{1}{t}=p$ तथा $\frac{1}{b}=q$ रखने पर

$100p+200q=\frac{25}{6}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$6(100p+200q)=25$

$\Rightarrow 600p+1200q=25$ ------------- (ii)

अब समीकरण (i) को 10 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 10(60p+240q=4)$

$\Rightarrow 600p+2400q=40$ ------- (iii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर हम पाते हैं कि

$(600p+2400q)-(600p+1200q)=40-25$

$\Rightarrow 600p+2400q-600p-1200q=15$

$\Rightarrow 1200q=15$

$\Rightarrow q=\frac{15}{1200}=\frac{1}{80}$ ---------- (iv)

अब $q=\frac{1}{b}$ मान को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{b}=\frac{1}{80}$

$\Rightarrow b=80$

अब $q=\frac{1}{80}$ को समीकरण (i) $60p+240q=4$ में रखने पर हम पाते हैं कि

$60p+240\times \frac{1}{80}=4$