दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : NCERT प्रश्नावली 3.6

 

NCERT प्रश्नावली 3.6

प्रश्न संख्या: 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:

(i) $\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}=2$;

$\frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{13}{6}$

हल:

दिया गया है, $\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}=2$ ---------- (i)

$\frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{13}{6}$ ----------- (ii)

मान लिया कि, $\frac{1}{x}=p$ and $\frac{1}{y}=q$

समीकरण (i) में $\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{y}$ का मान रखने पर

$\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}=2$

$\Rightarrow \frac{1}{2}p+\frac{1}{3}q=2$

$\Rightarrow \frac{3p+2q}{6}=2$

बज्र गुणा करने पर

$3p+2q=12$ ---------- (iii)

अब $\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$\frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q=\frac{13}{6}$

$\Rightarrow \frac{2p+3p}{6}=\frac{13}{6}$

क्रॉस गुणा करने पर

$2p+3q=\frac{13\times 6}{6}$

$\Rightarrow 2p+3q=13$ ---------- (iv)

$\Rightarrow 2p=13-3q$

$\Rightarrow p=\frac{13-3q}{2}$ ------- (v)

अब $p$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं

$3\times \frac{13-3q}{2}+2q=12$

$\Rightarrow \frac{(39-9q)+4q}{2}=12$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow 39-9q+4q=12\times 2=24$

$\Rightarrow -5q=24-39=-15$

$\Rightarrow q=\frac{-15}{-5}=3$

अब $q$ का मान समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि

$p=\frac{13-3\times 3}{2}$

$\Rightarrow p=\frac{13-9}{2}=\frac{4}{2}$

$\Rightarrow p=2$

अत: यहाँ $p=2$ तथा $q=3$

चूँकि $p=2$

अत: $p=\frac{1}{x}$ में $p$ का मान रखने पर

$\frac{1}{x}=2$

क्रॉस गुणा करने पर

$1=2x$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

अब चूँकि, $q=3$

अत: $q$ का मान $q=\frac{1}{y}$ में प्रतिस्थापित करने पर

$\frac{1}{y}=3$

क्रॉस गुणा करने पर

$\Rightarrow 1=3y$

$\Rightarrow y=\frac{1}{3}$

अत:, $x=\frac{1}{2}$ तथा $y=\frac{1}{3}$ उत्तर

(ii) $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$;

$\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$

दिया गया है, $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$;

$\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$

मान लिया कि $\frac{1}{\sqrt{x}}=p$ और 1/sqrty=q`

अत:, $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$

$\Rightarrow 2p+3q=2$ ---------- (i)

तथा पुन: दिया गया है, $\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$

$\Rightarrow 4p-9q=-1$ --------- (ii)

अब समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं

$2(2p+3q=2)$

$\Rightarrow 4p+6q=4$ ---------- (iii)

अब समीकरण (iii) से समीकरण (ii) से घटाने पर

$(4p-9q)-(4p+6q)=-1-4$

$\Rightarrow 4p-9q-4p-6q=-5$

$\Rightarrow -15q=-5$

$\Rightarrow q=\frac{-5}{-15}=\frac{1}{3}$

अब $q$ का मान समीकरण, (ii) में रखने पर

$4p-9\times \frac{1}{3}=-1$

$\Rightarrow 4p-3=-1$

$\Rightarrow 4p=-1+3=2$

$\Rightarrow p=\frac{2}{4}$

$\Rightarrow p=\frac{1}{2}$

अब $p=\frac{1}{\sqrt{x}}$, रखने पर

$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

बज्र गुणन करने पर हम पाते हैं

$\sqrt{x}=2$

दोनों तरफ वर्ग करने पर

${\left(\sqrt{x}\right)}^2=2^2$

$\Rightarrow x=4$

अब चूँकि $q=\frac{1}{3}$

अत: $q=\frac{1}{\sqrt{y}}$ से $q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर

$\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{3}$

बज्र गुणन करने पर हम पाते हैं कि

$\sqrt{y}=3$

दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि

${\left(\sqrt{y}\right)}^2=3^2$

$\Rightarrow y=9$

अत:, $x=4$ और $y=9$ उत्तर

 

(iii) $\frac{4}{x}+3y=14$

$\frac{3}{x}-4y=23$

हल:

दिया गया है, $\frac{4}{x}+3y=14$

$\frac{3}{x}-4y=23$

मान लिया कि, $\frac{1}{x}=p$.

अत: $p=\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर दिये गये समीकरण को निम्नांकित तरीके से लिखा जा सकता है

$4p+3y=14$ ----------(i)

तथा, $3p-4y=23$ ----------- (ii)

अब समीकरण (i) से

$4p=14-3y$

$\Rightarrow p=\frac{14-3y}{4}$

अब $p$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$3\times \frac{14-3y}{4}-4y=23$

$\Rightarrow \frac{(42-9y)-16y}{4}=23$

क्रॉस गुणा करने पर

$42-9y-16y=23\times 4=92$

$\Rightarrow 42-25y=92$

$\Rightarrow -25y=92-42=50$

$\Rightarrow y=\frac{50}{-25}=-2$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$4p+3y=14$ ----------(i)

$\Rightarrow 4p+3(-2)=14$

$\Rightarrow 4p-6=14$

$\Rightarrow 4p=14+6=20$

$\Rightarrow p=\frac{20}{4}=5$

$p=\frac{1}{x}$ को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$\Rightarrow \frac{1}{x}=5$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$5x=1$

$\Rightarrow x=\frac{1}{5}$

अत:, $x=\frac{1}{5}$ तथा $y=-2$ उत्तर

(iv) $\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2$

$\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1$

हल:

दिया गया है, $\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2$ ---------- (i)

$\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1$ ---------- (ii)

मान लिया कि $\frac{1}{x-1}=p$ और $\frac{1}{y-2}=q$ तथा इसे प्रतिस्थापित करने पर

अत: समीकरण (i) से

$5p+q=2$ ---------- (iii)

तथा समीकरण (ii) से

$6p-3q=1$ ---------- (iv)

अब समीकरण (iii) $5p+q=2$ से

$\Rightarrow q=2-5p$

अब $q=2-5p$ को समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$6p?3(2-5p)=1$

$\Rightarrow 6p-6+15p=1$

$\Rightarrow 21p-6=1$

$\Rightarrow 21p=1+6=7$

$\Rightarrow p=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$

अब $p$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं

$5p+q=2$ ----(iii)

$\Rightarrow 5\times \frac{1}{3}+q=2$

$\Rightarrow \frac{5}{3}+q=2$

$\Rightarrow q=2-\frac{5}{3}$

$\Rightarrow q=(6-5)3=\frac{1}{3}$

अब चूँकि, $p=\frac{1}{3}$

अत: $p=\frac{1}{x-1}$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$\Rightarrow 3=x-1$

$\Rightarrow x=3+1=4$

तथा चूँकि, $q=\frac{1}{3}$

अत: $q=\frac{1}{y-2}$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$3=y-2$

$\Rightarrow y=3+2=5$

अत:, $x=4$ और $y=5$ उत्तर

(v) $\frac{7x-2y}{xy}=5$; $(8x+7y)\left(xy\right)=15$

हल:

दिया गया है, $\frac{7x-2y}{xy}=5$;

$\Rightarrow \frac{7x}{x}y-\frac{2y}{xy}=5$

$\Rightarrow \frac{7}{y}-2\frac{x}{x}=5$ ---------- (i)

तथा दिया गया है, $(8x+7y)\left(xy\right)=15$

$\Rightarrow \frac{8x}{xy}+\frac{7y}{xy}=15$

$\Rightarrow \frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15$ -----------(ii)

मान लिया कि, $\frac{1}{x}=p$ and $\frac{1}{y}=q$

अत: $\frac{1}{x}$ तथा $\frac{1}{y}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर

समीकरण (i) से हम पाते हैं कि

$7q-2p=5$ ------- (iii)

समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

$8q+7p=15$ -------- (iv)

$\Rightarrow 8q=15-7p$

$\Rightarrow q=\frac{15-7p}{8}$ ---------- (v)

अब $q$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$7\times \frac{15-7p}{8}-2p=5$

$\Rightarrow \frac{105-49p-16p}{8}=5$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$105-49p-16p=8\times 5$

$\Rightarrow 105-65p=40$

$\Rightarrow 105-40=65p$

$\Rightarrow 65=65p$

$\Rightarrow p=\frac{65}{65}=1$

अब $p=1$ समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं

$q=\frac{15-7\times 1}{8}$

$\Rightarrow q=\frac{15-7}{8}$

$\Rightarrow q=\frac{8}{8}=1$

अब $q=\frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर

$\frac{1}{y}=1$

$\Rightarrow y=1$

तथा चूँकि, p=1`

अत: $p=\frac{1}{x}$ में $p=1$ रखने पर

$\frac{1}{x}=1$

$\Rightarrow x=1$

अत:, $x=1$ और $y=1$ उत्तर

प्रश्न संख्या:1. (vi) $6x+3y=6xy$

$2x+4y=5xy$

हल:

दिया गया है, $6x+3y=6xy$

$\Rightarrow \frac{6x}{6xy}+\frac{3y}{6xy}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{2x}=1$ ------------ (i)

तथा, दिया गया है, $2x+4y=5xy$

$\Rightarrow \frac{2x}{xy}+\frac{4y}{xy}=5$

$\Rightarrow \frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5$ --------- (ii)

अब, मान लिया कि $\frac{1}{x}=p$ और $\frac{1}{y}=q$

$p=\frac{1}{x}$ तथा $q=\frac{1}{y}$ मान को समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$q+\frac{1}{2}p=1$ ----------- (iii)

$\Rightarrow q=1-\frac{p}{2}$

$\Rightarrow q=\frac{2-p}{2}$ --------- (iv)

$p=\frac{1}{x}$ तथा $q=\frac{1}{y}$ मान को समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2q+4p=5$ ---------(v)

$q=\frac{2-p}{2}$ को उपरोक्त समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि

$2\times \frac{2-p}{2}+4p=5$

$\Rightarrow \frac{4-2p+8p}{2}=5$

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं

$4-2p+8p=5\times 2$

$\Rightarrow 4+6p=10$

$\Rightarrow 6p=10-4=6$

$\Rightarrow p=\frac{6}{6}=1$

अब $p=1$ को समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं

$2q+4\times 1=5$

$\Rightarrow 2q+4=5$

$\Rightarrow 2q=5-4=1$

$\Rightarrow q=\frac{1}{2}$

अब $q=\frac{1}{y}$ मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow y=2$

तथा चूँकि, $p=1$

अत:, $p=\frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

$\frac{1}{x}=1$

$\Rightarrow x=1$

अत:, $x=1$ और $y=2$ उत्तर