दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : NCERT प्रश्नावली 3.5 (भाग:2)

 

NCERT प्रश्नावली 3.5 (भाग:2)

प्रश्न संख्या: 3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं बज्र गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?

$8x+5y=9$

$3x+2y=4$

हल:

दिया गया है, $8x+5y=9$ ---------(i)

$3x+2y=4$ --------- (ii)

प्रतिस्थापना विधि से हल

समीकरण (i) से

$8x=9-5y$

$\Rightarrow x=\frac{9-5y}{8}$ -------- (iii)

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3\times \frac{9-5y}{8}+2y=4$

$\Rightarrow \frac{(27-15y)+16y}{8}=4$

$\Rightarrow \frac{27+y}{8}=4$

क्रॉस गुणन करने पर

$\Rightarrow 27+y=8\times 4=32$

$\Rightarrow y=32-27=5$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$8x+5\times 5=9$

$\Rightarrow 8x+25=9$

$\Rightarrow 8x=9-25=-16$

$\Rightarrow x=-\frac{16}{8}=-2$

अत:, $x=-2$ और $y=5$ उत्तर

बज्र गुणन विधि (Cross Multiplication Method) द्वारा हल

दिया गया है, $8x+5y=9$ ---------(i)

$3x+2y=4$ --------- (ii)

दिये गये समीकरण युग्म के लिए $a_1,a_2,b_1,b_1$, तथा $c_1,c_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$a_1=8,b_1=5,c_1=-9$

तथा $a_2=3,b_2=2,c_2=-4$

अब हम जानते हैं कि

$\Rightarrow \frac{x}{b_1{c}_2-b_2{c}_1}=\frac{y}{c_1{a}_2-c_2{a}_1}$ $=\frac{1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$

अत: बज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर हम पाते हैं

अत:, $\frac{x}{5(-4)-2(-9)}=\frac{y}{-9\times 3-(-4\times 8)}$ $=\frac{1}{8\times 2-3\times 5}$

$\Rightarrow \frac{x}{-20+18}=\frac{y}{-27+32}=\frac{1}{16-15}$

$\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y}{5}=\frac{1}{1}$

अब जब, $\frac{x}{-2}=\frac{1}{1}$

$\therefore x=-2$

तथा जब, $\frac{y}{5}=\frac{1}{1}$

$\therefore y=5$

अत:, $x=-2$ तथा $y=5$ उत्तर

दिये गये समीकरण को हल करने के लिए वैसे तो प्रतिस्थापना तथा बज्र गुणन विधियाँ दोनों ही उपयुक्त हैं परंतु बज्र गुणन विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न संख्या: 4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो कि 20 दिन भोजन करता है, Rs 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास व्यय के लिए Rs 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि छात्रावास का नियत व्यय $=x$ रू

तथा छात्रावास में प्रतिदिन भोजन का व्यय $=y$ रू

प्रश्न के अनुसार

स्थिति: 1: जब विद्यार्थी A 20 दिन भोजन करता है, तो उसे रू 1000 अदा करना पड़ता है।

अत: $x+20y=1000$ -----------(i)

स्थिति: 1: जब विद्यार्थी B 26 दिन भोजन करता है, तो उसे रू 1180 अदा करना पड़ता है।

अत: $x+26y=1180$ -------------(ii)

इस प्राप्त रैखिक समीकरण युग्म का विलोपन विधि से हल

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर

$x+26y?(x+20y)=1180-1000$

$\Rightarrow x+26y-x-20y=180$

$\Rightarrow 6y=180$

$\Rightarrow y=\frac{180}{6}$

$\Rightarrow y=30$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$x+20\times 30=1000$

$\Rightarrow x+600=1000$

$\Rightarrow x=1000-600=400$

अत: छात्रावास के व्यय का नियत भाग = Rs $400$ तथा प्रतिदिन भोजन करने का व्यय = Rs $30$ उत्तर

(ii) एक भिन्न $\frac{1}{3}$ हो जाती है, ज्ब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह $\frac{1}{4}$ हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया गया कि वांछित भिन्न $=\frac{x}{y}$

अब प्रश्न के अनुसार अंश से 1 घटाने पर

$\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}$

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

$3(x-1)=y$

$\Rightarrow 3x-3=y$

$\Rightarrow 3x-y-3=0$

$\Rightarrow 3x-y=3$ --------- (i)

पुन: प्रश्न के अनुसार हर में $8$ को जोड़ने पर

$\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}$

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 4x=y+8$

$\Rightarrow 4x-y=8$ ------------ (ii)

इस प्राप्त रैखिक समीकरण युग्म का विलोपन विधि (Elimination Method) से हल

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर हम पाते हैं

$(4x-y)-(3x-y)=8-3$

$\Rightarrow 4x-y-3x+y=5$

$\Rightarrow x=5$

अब $x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

$4\times 5-y=8$

$\Rightarrow 20-y=8$

$\Rightarrow -y=8-20=-12$

$\Rightarrow y=12$

अत: वांछित भिन्न $=\frac{5}{12}$ उत्तर

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर प्र 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

हल:

मान लिया कि सही उत्तर की संख्या $=r$

तथा मान लिया कि गलत उत्तरों की संख्या $=w$

अब प्रश्न के अनुसार जब यश 40 अंक प्राप्त करता है, उस स्थिति में

$3r-w=40$ ----------------(i)

अब प्रश्न के अनुसार जब यश 50 अंक प्राप्त करता है, उस स्थिति में

$4r-2w=50$

$\Rightarrow 2(2r-w)=50$

$\Rightarrow 2r-w=\frac{50}{2}$

$\Rightarrow 2r-w=25$ -------------(ii)

इस प्राप्त रैखिक समीकरण युग्म का हल प्रतिस्थापना विधि (Substitution Method) से:

समीकरण (ii) से

$\Rightarrow 2r-w=25$

$\Rightarrow 2r-25=w$ ----------- (iii)

अब $w$ के मान को समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

$3r-(2r-25)=40$

$\Rightarrow 3r-2r+25=40$

$\Rightarrow r=40-25=15$

अब $r$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं

$w=2\times 15-25$

$\Rightarrow w=30-25=5$

अत: सही उत्तरों की संख्या = 15

तथा गलत उत्तरों की संख्या = 5

अत: टेस्ट में प्रश्नों की कुल संख्या = 15+5 = 20 उत्तर

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि कारें भिन्न भिन्न चालों से के ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात मिलती हैं तथा यदि वे एक दूसरे की तरफ अर्थात विपरीत दिशा में चलती है तो 1 घंटे पश्चात मोलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया स्थान A से चलने वाली कार A तथा स्थान B से चलने वाली कार B है।

मान लिया कार A की गति = a km/hour

तथा मान लिया कि कार B की गति = b km/hour

जब दोनों कार एक ही दिशा में चलती हैं तो उनकी सापेक्ष गति (Relative speed) = $a-b$ km/hour

तथा जब कार एक दूसरे के विपरीत दिशा में चलती हैं, तो कारों की सापेक्ष गति (Relative speed) $=a+b$ km/hour

हम जानते हैं कि, समय × गति = दूरी

दिया गया है, दूरी = 100 km

तथा जब कार एक ही दिशा में चलती है, तो लगने वाला समय = 5 घंटा

तथा जब कार विपरीत दिशा में चलती हैं, तो लगने वाला समय = 1 घंटा

अत: जब कार एक ही दिशा में चलती हैं

$5(a-b)=100$

$\Rightarrow a-b=\frac{100}{5}$

$\Rightarrow a-b=20$ ------------ (i)

तथा जब कार विपरीत दिशा में चलती हैं

$1(a+b)=100$

$\Rightarrow a+b=100$ ----------- (ii)

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर

$(a-b)+(a+b)=20+100$

$\Rightarrow a-b+a+b=120$

$\Rightarrow 2a=120$

$\Rightarrow a=\frac{120}{2}=60$

अब $a$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं

$60-b=20$

$\Rightarrow -b=20-60=-40$

$\Rightarrow b=40$

अत: कार A की गति = 60 km/h तथा कार B की गति = 40 km/h. उत्तर

(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बड़ा जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञाता कीजिए।

हल:

मान लिया कि आयत की लम्बाई $=x$ units

तथा आयत की चौड़ाई $=y$ units

हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई

अत: दिये गये आयत का क्षेत्रफल =$xy$ square units

प्रश्न के अनुसार

जब लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है तथा चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है, तो क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है।

अत: $(x-5)(y+3)=xy?9$

$\Rightarrow xy+3x-5y-15=xy-9$

$\Rightarrow 3x-5y=xy-9-xy+15$

$\Rightarrow 3x-5y=6$ ------------- (i)

तथा प्रश्न के अनुसार जब लम्बाई 3 इकाई और चौड़ाई 2 इकाई बढ़ा दी जाती है, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है।

अत: $(x+3)(y+2)=xy+67$

$\Rightarrow xy+2x+3y+6=xy+67$

$\Rightarrow 2x+3y+6=xy+67-xy$

$\Rightarrow 2x+3y=67-6$

$\Rightarrow 2x+3y=61$ ----------- (ii)

समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

$2(3x-5y=6)$

$\Rightarrow 6x-10y=12$ ------------- (iii)

समीकरण (ii) को 3 से गुणा करने पर हम पाते हैं

$3(2x+3y=61)$

$\Rightarrow 6x+9y=183$ ----------- (iv)

अब समीकरण (iii) को समीकरण (iv) में से घटाने पर हम पाते हैं कि

$(6x+9y)-(6x-10y)=183-12$

$\Rightarrow 6x+9y-6x+10y=171$

$\Rightarrow 19y=171$

$\Rightarrow y=\frac{171}{19}=9$

अब $y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं

$3x-5\times 9=6$

$\Rightarrow 3x-45=6$

$\Rightarrow 3x=6+45=51$

$\Rightarrow x=\frac{51}{3}=17$

अत: आयत की लम्बाई $=17$ इकाई तथा चौड़ाई $=9$ इकाई उत्तर