पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन : NCERT प्रश्नावली 13.3 के हल

 

NCERT प्रश्नावली 13.3 के हल

प्रश्न : (1) त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढ़ाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, गोले की त्रिज्या = 4.2 cm

ढ़ाले गये बेलन की त्रिज्या = 6 cm

अत: बेलन की ऊँचाई =?

गोले का आयतन = 43 π r3

अत: दिये गये गोले का आयतन = 43 π (4.2 cm)3

= 43 π × 74.088 cm3

= 98.784 π cm3

अब बेलन का आयतन = π r2 h

अत: दिये गये बेलन का आयतन = π (6 cm)2 h

= π × 36 h cm2

= 36 π h cm2

अब बेलन का आयतन = गोले का आयतन

अत: 36 π h cm2 = 98.784 π cm3

h = 98.784 π cm336 π cm2

⇒ h = 2.744 cm

अत: दिये गये बेलन का आयतन = 2.744 cm उत्तर

प्रश्न : (2) क्रमश: 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया गया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है गोला1 की त्रिज्या = 6 cm

तथा गोला2 की त्रिज्या = 8 cm

तथा गोला3 की त्रिज्या =10 cm

अत: पिघलाकर बनाये गये बड़े गोले की त्रिज्या =?

गोले का आयतन = 43 π r3

अत: गोला1 का आयतन = 43 π (6 cm)3

= 43 × 216 π cm3

तथा गोला 2 का आयतन = 43 π (8 cm)3

= 43 × 512 π cm3

तथा गोला 3 का आयतन = 43 π (10 cm)3

= 43 × 1000 π cm3

अत: बनाये गये बड़े गोले का आयतन = गोला 1 का आयतन + गोला 2 का आयतन + गोला 3 का आयतन

= 43 × 216 π cm3 + 43 × 512 π cm3 + 43 × 1000 π cm3

= 43 π (216 + 512 + 1000) cm3

= 43 1728 π cm3

अब बड़े गोले का आयतन = 43 π r3

⇒ 43 π r3= 43 1728 π cm3

⇒ r3 = 43 1728 π cm343 π

⇒ r3 = 1728 cm3

⇒ r = ∛1728 cm3

⇒ r = 12 cm

अत: बनाये गये बड़े गोले की त्रिज्या = 12 cm उत्तर

प्रश्न : 3 व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली गुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, कुँए की ऊँचाई = 20 m

कुँए का व्यास = 7 m

अत: कुँए की त्रिज्या = 72 = 3.5 m

चबूतरे की लम्बाई = 22 m

चबूतरे की चौड़ाई = 14 m

अत: बनाये गये घनाभ के आकार के चबूतरे की ऊँचाई =?

अब बेलन का आयतन =π r2 h

अत: बेलनाकार कुँए का आयतन = 227 × (3.5 m)2 h

= 227 × 3.5 × 3.5 × 20 m3

= 22 × 0.5 × 3.5 × 20 m3

= 770 m3

या, कुँए का आयतन = 770 m3

अब घनाभ का आयतन = l × b × h

अत: बनाये गये घनाभ के आकार वाले चबूतरे का आयतन = 22 m × 14 m × h

⇒ 770 m3 = 308 h m2

[∵ कुँए का आयतन = चबूतरे का आयतन]

⇒ h = 770 m3308 m2 = 2.5 m

अत: बनाये गये चबूतरे की ऊँचाई = 2.5 m उत्तर

प्रश्न : (4) व्यास 3 m का एक कुँआ 14 m गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया है, कुँए की गहराई अर्थात ऊँचाई =14 m

कुँए का व्यास =3 m

अत: कुँए की त्रिज्या =1.5 m

चूँकि कुँए से निकाली गई मिट्टी को कुँए के चारो ओर फैलाकर वृताकार वलय वाला बाँध बनाया गया है, अत: वृताकार वलय की भीतरी त्रिज्या = कुँए की त्रिज्या =1.5 m

वृताकार वलयाकार बाँध की चौड़ाई =4 m

अत: वृत्ताकार बाँध की बाहरी त्रिज्या =4 m + 1.5 m = 5.5 m

∴ वृत्ताकार बाँध की ऊँचाई = ?

अब बेलन का आयतन =π r2h

अत: कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन = कुँए का आयतन = π (1.5 m)2 × 14 m

=π 2.25 × 14 m3

या, कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन =π 31.5 m3

अब, वृत्ताकार बाँध का आयतन = बाँध का बाहरी वलय के साथ आयतन – बाँध के भीतरी वलय का आयतन

= π (5.5 m)2 h – π (1.5 m)2 h

[∵ बेलन का आयतन = π r2h ]

= π h(30.25 – 2.25)m2

= π h × 28 m2

⇒ π 31.5 m3 = π h × 28 m2

[∵ वलयाकार बाँध का आयतन = कुँए से निकाली गई मिट्टी का आयतन]

⇒ h = π 31.5 m3π 28 m2

⇒ h = 1.125 m

अत: बाँध की ऊँचाई = 1.125 m उत्तर

प्रश्न : (5) व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।

हल:

दिया गया है, बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 15 cm

तथा बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm

अत: बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या = 122 = 6 cm

शंकु की ऊँचाई = 12 cm

शंकु का व्यास = 6 cm

अत: शंकु की त्रिज्या = 62 = 3 cm

अत: शंकुओं, जिनमें आइसक्रीम भरा जाना है, की संख्या = ?

यहाँ आइसक्रीम का आयतन = बेलनाकार बर्तन का आयतन

तथा शंकु का आयतन = शंकु में भरे जाने वाले आइसक्रीम का आयतन

अब बेलन का आयतन = π r2h

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन = π (6 cm)2 × 15 cm

= π × 36 × 15 cm3

= π 540 cm3

या, दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन = π 540 cm3

अब चूँकि शंकु का व्यास = 6 cm

अत: शंकु की त्रिज्या = 62 = 3 cm

अत: अर्धगोला तथा शंकु की त्रिज्या = 3 cm

अब शंकु का आयतन = 13 π r2h

अत: दिये गये शंकु का आयतन = 13 π (3 cm)2 × 12 cm

= 13 × π × 3 × 3 × 12 cm3

या, दिये गये शंकु का आयतन = π 36 cm3

अत: अर्धगोले को छोड़कर शंकु में भरे जाने वाले आइसक्रीम का आयतन = π 36 cm3

अब अर्धगोले का आयतन = 23 π r3

अत: शंकु के ऊपर वाले अर्धगोले का आयतन = 23 π (3 cm)3

= 23 × π × 3 × 3 × 3 cm3

या, शंकु के ऊपर वाले अर्धगोले का आयतन = 18 π cm3

अत: एक शंकु में भरे जाने वाले कुल आइसक्रीम का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन

= π 36 cm3 + π 18 cm3

= π (36 + 18) cm3

= 54 π cm3

अत: एक शंकु में भरे जाने वाले कुल आइसक्रीम का आयतन = 54 π cm3

अत: शंकुओं की संख्या जिनमें आइसक्रीम भरा जाना है = (बेलनाकार बर्तन के आइसक्रीम का आयतन)/(एक शंकु में आइसक्रीम का आयतन)

= π 540 cm354 π cm3 = 10

अत: शंकुओं की संख्या, जिनमें आइसक्रीम भरा जाना है = 10 उत्तर

प्रश्न : (6) विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिये 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?

हल:

दिया गया है, घनाभ की लम्बाई, l = 10 cm

घनाभ की चौड़ा, b = 5.5 cm

तथा घनाभ की ऊँचाई, h = 3.5 cm

सिक्के की मोटाई h = 2 mm = 0.2 cm

सिक्के का व्यास = 1.75 cm

अत: सिक्के की त्रिज्या, r = 1.752 = 0.875 cm

अत: दिये गये घनाभ को बनाने में लगने वाले कुल सिक्कों की संख्या = ?

अब घनाभ का आयतन = l × b × h

अत: दिये गये घनाभ का आयतन = 10 cm × 5.5 cm × 3.5 cm

= 192.5 cm3

अब बेलन का आयतन = π r2h

चूँकि सिक्के का आकार बेलनाकार होता है,

अत: एक सिक्के का आयतन = π × (0.875 cm)2 × 0.2 cm

= 227 × 0.766 × 0.2 cm3

= 0.48125 cm3

अत: दिये गये घनाभ को बनाने के लिए सिक्कों की संख्या = घनाभ का आयतनएक सिक्के का आयतन

= 192.5 cm30.48125 cm3

= 400

अत: दिये गये घनाभ को बनाने के लिये आवश्यक सिक्कों की संख्या = 400 उत्तर

प्रश्न : (7) 32 cm ऊँची और आधर त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढ़ेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढ़ेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढ़ेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई = 32 cm

तथा बाल्टी की त्रिज्या = 18 cm

शंक्वाकार ढ़ेरी की ऊँचाई = 24 cm

अत: शंक्वाकार ढ़ेरी की त्रिज्या (r) तथा तिर्यक ऊँचाई (l) = ?

बेलन का आयतन = π r2h

अत: दिये गये बेलनाकार बाल्टी का आयतन = π (18 cm)2 32 cm

= π × 324 × 32 cm3

या, बाल्टी का आयतन = π 18 × 18 × 32 cm3

अब शंकु का आयतन = 13 π r2h

अत: शंक्वाकार ढ़ेरी का आयतन = 13 π r2 × 24 cm

= 8 r2 π cm

अब चूँकि बाल्टी से खाली किये गये बालू से शंक्वाकार ढ़ेरी बनाई जाती है,

अत: शंक्वाकार ढ़ेरी का आयतन = बाल्टी के बालू का आयतन = बाल्टी का आयतन

∴ 8r2 π cm = π × 324 × 32 cm3

⇒ r2 = π × 324 × 32 cm38 π cm

⇒ r2 = 324 × 4 cm2

⇒ r = √18 × 18 × 2 × 2 cm2

⇒ r = 18 × 2 cm = 36 cm

अत: शंक्वाकार ढ़ेरी की त्रिज्या = 36 cm

अब शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = √h2 + r2

अत: शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = √(24 cm)2 + (36 cm)2

⇒ l = √(576 + 1296)cm2

⇒ l = √1872 cm2

⇒ l = √12 × 12 × 13 cm2

⇒ 12 √13 cm

अत: शंक्वाकार ढ़ेरी की त्रिज्या तथा ऊँचाई क्रमश: 36 cm and 12 √13 cm है। उत्तर

प्रश्न : (8) 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यक्ता होती है।

हल:

दिया गया है, नहर की चौड़ाई = 6 m

तथा नहर की गहराई h = 1.5 m

पानी के बहाव की चाल = 10 km/h

सिंचाई के लिये आवश्यक पानी की गहराई = 8 cm

अत: 30 मिनट में सिंचाई किये जाने वाला क्षेत्रफल = ?

अब नहर के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल = लम्बाई × गहराई

= 6 m × 1.5 m = 9 m2

∵ 1 घंटा या 60 मिनट में पानी द्वारा तय की जाने वाली दूरी या लम्बाई = 10 km or 10 × 1000 m

∴ 1 मिनट में पानी द्वार तय की जाने वाली दूरी = 10 × 1000 m60

∴ 30 मिनट में पानी द्वारा तय की जाने वाली दूरी =10 × 1000 m60 × 30

= 10 × 1000 m2

= 5 × 1000 = 5000 m

अत: 30 मिनट में पानी द्वार तय की गई दूरी = 5000 m

अत: 30 मिनट में पानी का आयतन = नहर के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × पानी द्वारा तय की गई लम्बाई या दूरी

= 9 m2 × 5000 m

= 45000 m3

या, 30 मिनट में पानी का आयतन = 45000 m3

अब, प्रश्नानुसार, पानी की ऊँचाई = 8 cm

= 8100 m = 0.08 m

अब, क्षेत्रफल = आयतनऊँचाई

अत: सिंचाई किये जाने वाले भाग का क्षेत्रफल = 45000 m30.08 m

= 562500 m2

= 56250010000 हेक्टेयर

[∵ 1 हेक्टेयर = 10000 वर्ग मीटर]

= 56.25 हेक्टेयर

अत: दिये गये समय में नहर का पानी 562500 m2 or 56.25 हेक्टेयर की सिंचाई कर पायेगी। उत्तर

प्रश्न : (9) एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?

हल:

दिया गया है, पाइप का व्यास = 20 cm = 20100 m = 0.2 m

अत: पाइप की त्रिज्या = 0.22 = 0.1 m

बेलनाकार टंकी की गहराई अर्थात ऊँचाई = 2 m

बेलनाकार टंकी का व्यास = 10 m

अत: बेलनाकार टंकी की त्रिज्या = 102 = 5 m

पाईप में पानी के बहाव की गति = 3 km/h = 3 × 1000 = 3000 m/h

∵ 60 मिनट में पानी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 3000 m

∴ 1 मिनट में पानी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 3000 m60 = 50 m

अब, पाइप द्वारा 1 मिनट में निकले हुए पानी का आयतन

= पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × पानी द्वार तय की गई दूरी (लम्बाई)

= π (0.1 m)2 × 50 m

= π × 0.01 × 50 m3

या, पाइप द्वारा 1 मिनट में निकलने वाले पानी का आयतन = π 0.5 m3

अब बेलन का आयतन = π r2h

अत: बेलनाकार टंकी का आयतन = π (5 m)2 × 2 m

= π × 25 m2 × 2 m

या, बेलनाकार टंकी का आयतन = π 50 m3

∵ π 0.5 m3 पानी भरने में लगने वाला समय = 1 मिनट

∴ 1 m3 पानी भरने में लगने वाला समय = 1π 0.5 m3 मिनट

∴ π 50 m3 पानी भरने में लगने वाला समय = 1π 0.5 m3 × π 50 m3 मिनट

= 50 m30.5 m3 = 100 मिनट

अत: बेलनाकार टंकी को भरने में 100 मिनट लगेगा। उत्तर