वृत्त : NCERT प्रश्नावली 10.1 का हल

 

NCERT प्रश्नावली 10.1 का हल

प्रश्न संख्यां(1) एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक

ब्याख्या: चूँकि एक वृत्त की परिधि पर अपरिमित रूप से अनेक बिन्दु हो सकते हैं अत: एक वृत्त की अपरिमित रूप से अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

प्रश्न संख्यां (2) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

(i) किसी वृत की स्पर्श रेखा उसे ____________ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

उत्तर: किसी वृत की स्पर्श रेखा उसे केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

ब्याख्या: रेखा जो एक वृत्त को केवल और केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है। अर्थात वृत की स्पर्श रेखा उसे केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को __________ कहते हैं।

उत्तर: वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।

(iii) एक वृत्त की _______ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

उत्तर: एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

ब्याख्या: चूँकि एक वृत्त की परिधि पर एक दूसरे से विपरीत अर्थात आमने सामने केवल दो बिन्दुएँ हो सकती हैं, अत: एक वृत्त की केवल दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _______ कहते हैं।

उत्तर: वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।

प्रश्न संख्यां (3) 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लम्बाई है:

(A) 12 सेमी

(B) 13 सेमी

(C) 8.5 सेमी

(D) $\sqrt{119}$ सेमी

उत्तर: (D) $\sqrt{119}$ सेमी

ब्याख्या:

मान लिया कि एक वृत्त है जिसका केन्द्र O है।

वृत्त की स्पर्श रेखा PQ है तथा OP वृत्त की त्रिज्या है।

अब प्रश्न के अनुसार OP = 5 cm

OQ = 12 cm

PQ=?

अब चूँकि OP वृत्त की त्रिज्या तथा PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है।

अर्थात OP, PQ पर लम्ब है।

∴ ∠ OPQ = 900

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

OQ2 = OP2 + PQ2

⇒ 122 = 52 + PQ2

⇒ 144 = 25 + PQ2

⇒ 144 – 25 = PQ2

⇒ 119 = PQ2

$\therefore PQ=\sqrt{119}$ सेमी उत्तर

प्रश्न संख्यां (4) एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल:

एक वृत खींचें जिसका केन्द्र O है।

तथा उस वृत के करीब एक रेखा AB खींचें।

AB पर वृत्त के केन्द्र O से जाती हुई एक लम्ब NO खींचें।

अब बिन्दु P पर एक लम्ब EF खींचें। यह EF पूर्व में खींचे गये वृत्त की स्पर्श रेखा है।

अब ON पर एक दूसरा बिन्दु M लें।

अब बिन्दु M पर GH एक लम्ब खींचें।

यहाँ रेखाएँ EF तथा GH रेखा AB के समांतर है।

यहाँ, EF वृत की स्पर्श रेखा है तथा वृत्त के नजदीक खींची गई रेखा AB के समांतर है।

तथा GH वृत्त की छेदक रेखा है तथा रेखा AB के समांतर है।