अनुपात और समानुपात : महत्वपूर्ण शब्द एवं परिभाषा

 

महत्वपूर्ण शब्द एवं परिभाषा

अनुपात

अनुपात के द्वारा किन्ही दो राशियों की तुलना की जाती है।

यदि ab लिखा जाता है, तो इसका अर्थ यह होता है कि b की तुलना में a का भाग। अनुपात   भिन्न के संख्या जैसा ही होता है।

भिन्न में यदि लिखा होता है 12 तो इसका अर्थ होता है, कुल 2 में से 1 भाग।

लेकिन यदि अनुपात में लिखा होता है 12 तो इसका अर्थ है कुल भाग है (1 + 2) = 3 और उसमें 1 और 2 भाग कितना है।

ab अनुपात को a : b भी लिखा जाता है।

यहाँ a को प्रथम पद तथा b को द्वितीय पद कहा जाता है। या a को प्रथम अनुपात और b को द्वितीय अनुपात भी कहा जाता है।

भिन्न की तरह ही अनुपात के दोनों पदों में एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर उनके मान में कोई बदलाव नहीं होता है।

समानुपात

ab = cd लिखा होने पर इसमें ab को अनुपात और cd को समानुपात कहा जाता है। समानुपात दो शब्दों सम + अनुपात   से बना है जिसका अर्थ है समान अनुपात। अर्थात ab के समान ही cd का अनुपात है।

इसे a : b = c : d भी लिखा जाता है। या इसे a : b :: c : d भी लिखा जाता है।

इसमें a को प्रथम अनुपात, b को द्वितीय अनुपात, c को तृतीय अनुपात और d को चतुर्थ या चौथा अनुपात कहा जाता है।

ab = cd को बज्र गुणन (Cross multiplication) करने पर यह ad = bc हो जाता है।

अत: कोई तीन अनुपातिक पद ज्ञात होने पर चौथे आनुपातिक पद को ज्ञात किया जा सकता है।

अत: ab = cd

⇔ a : b = c : d

⇔ a : b :: c : d

⇔ a × d = b × c

दिये गये समानुपात में अ‍ज्ञात अनुपातिक पद ज्ञात करना

⇒ a = b × cd

⇒ b = a × dc

⇒ c = a × db

⇒ d = b × ca

दिये गये समानुपात में अ‍ज्ञात अनुपातिक पद ज्ञात करना : प्रश्न और हल

अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (1) यदि 1 : 2 = a : 6 है तो, a का मान क्या है?

हल

दिया गया है, 1 : 2 = a : 6

⇒ 12 = a6

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

2 a = 6

अत: a = 62 = 3

अत: a = 3 उत्तर

अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (2) यदि 2 : 7 = 6 : a है तो, a का मान क्या है?

दिया गया है, 2 : 7 = 6 : a

⇒ 27 = 6a

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

2 a = 6 × 7 = 42

अत: a = 422 = 21

अत: a = 21 उत्तर

अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (3) यदि 3 : 4 = a : 12 है तो, a का मान क्या है?

दिया गया है, 3 : 4 = a : 12

⇒ 34 = a12

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

4 a = 12 × 3 = 36

अत: a = 364 = 9

अत: a = 9 उत्तर

अनुपात और समानुपात प्रश्न संख्या (4) यदि 12 : a = 8 : 7 है तो, a का मान क्या है?

दिया गया है, 12 : a = 8 : 7

⇒ 12a = 87

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

8 a = 12 × 7 = 84

अत: a = 848 = 10.5

अत: a = 10.5 उत्तर