त्रिभुज : एन सी ई आर टी प्रश्नावली 6.4

 

एन सी ई आर टी प्रश्नावली 6.4

समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल पर आधारित प्रश्न

प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओंके अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

मान लिया कि यदि दिये गये त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR समरूप हों, तो

प्रमेय के अनुसार,

$\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(PQR\right)}={\left(\frac{AB}{PQ}\right)}^2$ $={\left(\frac{BC}{QR}\right)}^2={\left(\frac{CA}{RP}\right)}^2$

एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.4

प्रश्न संख्या: 1. मान लिजिए कि $△$ AB ~ $△$ DEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64 cm2 और 121 cm2 हैं। यदि EF = 15.4 cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि ABC तथा DEF दो त्रिभुज हैं।

दिया गया है, $△$ ABC ~ $△$ DEF

ar (ABC) = 64 cm2

ar (DEF) = 121 cm2

तथा, EF = 15.4 cm

अत: BC = ?

हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज ABC तथा DEF समरूप हों, तो

$\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DEF\right)}={\left(\frac{AB}{DE}\right)}^2$ $={\left(\frac{BC}{EF}\right)}^2={\left(\frac{AC}{DF}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DEF\right)}={\left(\frac{BC}{EF}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{64c{m}^2}{121c{m}^2}={\left(\frac{BC}{15.4cm}\right)}^2$

$\Rightarrow \left(\frac{BC}{15.4cm}\right)=\sqrt{\frac{64c{m}^2}{121c{m}^2}}$

$\Rightarrow \frac{BC}{15.4cm}=\frac{8}{11}$

$\Rightarrow BC=\frac{8\times 15.4cm}{11}=11.2cm$

अत: BC = 11.2 cm उत्तर

प्रश्न संख्या : 2. एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD है, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि दिया गया समलम्ब ABCD है।

दिया गया है, AB = 2 CD तथा AB || CD

अत: $\frac{ar\left(AOB\right)}{ar\left(COD\right)}=?$

चूँकि AB || CD

अत: $\angle OAB=\angle OCD$ तथा $\angle OBA=\angle ODC$

[चूँकि ये एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं। एकांतर अंत: कोण के युग्म बराबर होते हैं।]

अब, $△$ AOB तथा $△$ COD में,

$\angle AOB=\angle COD$ [चूँकि उर्ध्वाकार सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

$\angle OAB=\angle OCD$ [चूँकि एकांतर अंत: कोणों के युग्म बराबर होते हैं।]

तथा, $\angle OBA=\angle ODC$ [चूँकि एकांतर अंत: कोणों के युग्म बराबर होते हैं।]

अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर

$△$ AOB ~ $△$ COD

अत:, $\frac{ar(△AOB)}{ar(△COD)}={\left(\frac{AB}{CD}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△AOB)}{ar(△COD)}={\left(\frac{2CD}{CD}\right)}^2$

[∵ AB = 2CD (प्रश्न के अनुसार)]

$\Rightarrow \frac{ar(△AOB)}{ar(△COD)}={\left(\frac{2}{1}\right)}^2=\frac{4}{1}$

$\Rightarrow ar(△AOB):ar(△COD)=4:1$ उत्तर

प्रश्न संख्या: 3 . दिये गये आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे तो दर्शाइए कि $\Rightarrow \frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{AO}{DO}$ है।

हल:

प्रश्न में दी गई आकृति में, BC पर AP तथा DM दो लम्ब डाला गया।

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\times$ आधार × ऊँचाई

अत: $\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{\frac{1}{2}\times BC\times AP}{\frac{1}{2}\times BC\times DM}$

$\Rightarrow \frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{AP}{DM}$ --------- (i)

अब त्रिभुज APO तथा DMO में,

$\angle APO=\angle DMO$ [चूँकि दोनों कोण ${90}^o$ के बराबर हैं]

$\angle AOP=\angle DOM$

[चूँकि दोनों कोण उर्ध्वाकार सम्मुख कोण हैं, तथा उर्ध्वाकार सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर,

$△$ APO ~ $△$ DMO

अत: $\frac{AP}{DM}=\frac{AO}{DO}$ --------- (ii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) के द्वारा

$\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(DBC\right)}=\frac{AO}{DO}$ प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

हल:

मान लिया कि ABC तथा PQR दो सर्वांगसम त्रिभुज हैं।

हम जानते हैं कि, यदि $△$ ABC ~ $△$ PQR

तो, $\frac{ar\left(ABC\right)}{ar\left(PQR\right)}={\left(\frac{AB}{PQ}\right)}^2$ $={\left(\frac{BC}{QR}\right)}^2={\left(\frac{CA}{RP}\right)}^2$

दिया गया है, ar (ABC) = ar(PQR)

अत: $1={\left(\frac{AB}{PQ}\right)}^2$ $={\left(\frac{BC}{QR}\right)}^2={\left(\frac{CA}{RP}\right)}^2$

अब यदि $\frac{AB}{PQ}=1$

$\therefore AB=PQ$

उसी तरह, BC = QR तथा CA = RP

अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर

$△ABC\cong △PQR$

अर्थात दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं, AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं। $△$ DEF और $△$ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि दिया गया त्रिभुज ABC हैं, जिसकी भुजाओं AB, BC और CA के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E और F हैं।

तो $\frac{ar\left(DEF\right)}{ar\left(ABC\right)}=?$

चूँकि दिये गये त्रिभुज में, D, E तथा F त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं,

अत: DE||AC

तथा, DE = $\frac{1}{2}$ AC

अब त्रिभुज BDE तथा त्रिभुज BCA में,

$\angle BED=\angle BCA$ (चूँकि संगत कोण हैं)

तथा, $\angle BDE=\angle BAC$ (चूँकि संगत कोण हैं)

तथा, $\angle EBD=\angle CBA$ (उभयनिष्ठ कोण हैं)

अत: AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के आधार पर

$△$ BED ~ $△$ BCA

अत: $\frac{ar(△BED)}{ar(△BCA)}={\left(\frac{DE}{AC}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△BED)}{ar(△BCA)}={\left(\frac{1/2AC}{AC}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△BED)}{ar(△BCA)}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow ar(△BED)=\frac{1}{4}ar(△BCA)$

उसी तरह,

$\Rightarrow ar(△CFE)=\frac{1}{4}ar(△CBA)$

तथा $\Rightarrow ar(△ADF)=\frac{1}{4}ar(△ABC)$

अब,

ar ($△$ DEF) = ar ($△$ ABC) – [ar ($△$ BED) + ar ($△$ CFE) + ar ($△$ ADF)]

$\Rightarrow ar(△DEF)=ar(△ABC)-\frac{3}{4}ar(△ABC)$

$\Rightarrow ar(△DEF)=\frac{1}{4}ar(△ABC)$

$\Rightarrow \frac{ar(△DEF)}{ar(△ABC)}=\frac{1}{4}$

अत: $△$ DEF और $△$ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है| उत्तर

प्रश्न संख्या: 6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत मध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

हल:

मान लिया कि ABC तथा PQR दो समरूप त्रिभुज हैं, तथा AD तथा PM क्रमश: इन दोनों त्रिभुजों की मध्यिकाएँ हैं।

चूँकि AD तथा PM दोनों त्रिभुजों की मध्यिकाएँ हैं, अत:

BD = DC $=\frac{BC}{2}$

तथा QM = MR $=\frac{QR}{2}$

चूँकि $△$ ABC ~ $△$ PQR

अत: $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$ --------- (i)

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BC/2}{QR/2}=\frac{AC}{PR}$

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AC}{PR}$ --------- (ii)

अब त्रिभुज ABD तथा PQM में,

$\angle B=\angle Q$ [चूँकि $△$ ABC ~ $△$ PQR]

तथा समीकरण (ii) के अनुसार

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर $△$ ABD ~ $△$ PQM`

अत: $\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$ -------- (iii)

अब, $\frac{ar(△ABC)}{ar(△PQR)}$ $={\left(\frac{AB}{PQ}\right)}^2={\left(\frac{BC}{QR}\right)}^2={\left(\frac{AC}{PR}\right)}^2$

समीकरण (iii) से, $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$

अत: $\frac{ar(△ABC)}{ar(△PQR)}={\left(\frac{AD}{PM}\right)}^2$ प्रमाणित

प्रश्न संख्या : 7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

हल:

मान लिया कि ABCE एक वर्ग है। मान लिया कि वर्ग की एक भुजा $=a$

अब, वर्ग का विकर्ण DB $=\sqrt{2}a$

अब, वर्ग की एक भुजा पर बना समबाहु त्रिभुज, ABE है।

चूँकि वर्ग की एक भुजा $=a$ अत: त्रिभुज ABE की भुजा $=a$

प्रश्न के अनुसार वर्ग के विकर्ण पर बना त्रिभुज, DBF है।

चूँकि वर्ग का विकर्ण DB $=\sqrt{2}a$ अत: त्रिभुज DBF की भुजा $=\sqrt{2}a$

अब त्रिभुज, ABE तथा DBF में,

चूँकि दोनों त्रिभुज समबाहु हैं, अत: दोनों त्रिभुज के सभी कोण $={60}^o$

अत: AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के आधार पर

$△$ ABE ~ $△$ DBF

अत:

$\frac{ar(△ABE)}{ar(△DBF)}=(\frac{AB}{{\left(DB\right)}^2}$

$\Rightarrow \frac{ar(△ABE)}{ar(△DBF)}={\left(\frac{a}{\sqrt{2}a}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△ABE)}{ar(△DBF)}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow ar(△ABE)=\frac{ar(△DBF)}{2}$ प्रमाणित

सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:

प्रश्न संख्या : 8 . ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

 

(A) 2:1

 

(B) 1:2

 

(C) 4:1

 

(D) 1:4

उत्तर : (C) 4:1

ब्याख्या:

मान लिया कि दिया गया त्रिभुज चित्र के अनुसार है।

यहाँ, बिन्दु D भुजा BC का मध्य बिन्दु है।

अत: 2BD = BC

हम, जानते हैं कि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

अत: त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज BDE

हम जानते हैं कि, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

अर्थात, $\frac{ar(△ABC)}{ar(△BDE)}={\left(\frac{BC}{BD}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△ABC)}{ar(△BDE)}={\left(\frac{2BD}{BD}\right)}^2$

[∵ 2BD = BC]

$\Rightarrow \frac{ar(△ABC)}{ar(△BDE)}={\left(\frac{2}{1}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{ar(△ABC)}{ar(△BDE)}=4:1$

अत: (C) 4:1 सही उत्तर है।

प्रश्न संख्या: 9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात है:

 

(A) 2:3

 

(B) 4:9

 

(C) 81:16

 

(D) 16:81

उत्तर: (D) 16:81

ब्याख्या:

हम जानते हैं कि, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

यहाँ दोनों त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4:9 है।

अत: दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात $={\left(\frac{4}{9}\right)}^2=\frac{16}{81}$

अत: (D) 16:81 सही उत्तर है।