NCERT Mathematics: दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : NCERT प्रश्नावली 3.5

NCERT प्रश्नावली 3.5

बज्र गुणन विधि से दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म का हल (Cross Multiplication Method to Solve a Pair of Linear Equation)

हालाँकि एक रैखिक समीकरण के युग्म को हल करने के लिए सभी विधियाँ अच्छे हैं, परंतु कई बार एक खास विधि दूसरी विधि से ज्यादा उपयुक्त होती है। बज्र गुणन विधि एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की एक विधि है।

मान लिया कि एक रैखिक समीकरण का युग्म है

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ तथा

$a_{2} + b_{2} y + c_{2} = 0$

अत:,

$x = \frac{b_{1} c_{2} ? b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$ , जहाँ $a_{1} b_{2} ? a_{2} b_{1} \neq 0$

तथा, $y = \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2} ? a_{2} b_{1}}$

अब दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:

स्थिति : 1– $a_{1} b_{2} ? a_{2} b_{1} \neq 0$ .

इस परिस्थिति में, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ .

इस परिस्थिति में दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का केवल एक हल अर्थात अद्वितीय हल होता है।

स्थिति : 2– $a_{1} b_{2} ? a_{2} b_{1} = 0$ .

यदि हम लिखते हैं, $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = k$ ,

तब $a_{1} = k a_{2}$ , तथा $b_{1} = k b_{2}$ .

इस परिस्थिति में दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित हल होंगे।

बज्र गुणन विधि के उपयोग से दिये गये एक रैखिक समीकरण युग्म को निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर हल किया जा सकता है :

अत:,

$\frac{x}{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}} = \frac{y}{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}$ $= \frac{1}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$

अत:,

$\frac{x}{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}} = \frac{1}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$

$\frac{y}{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}} = \frac{1}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$

यहाँ, यदि

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ , तो रैखिक समीकरण युग्म का केवल एक हल होता है।

तथा यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ , हों तो दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित हल होते हैं।

तथा यदि $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ , इस स्थिति में एक रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता है।

NCERT प्रश्नावली 3.5

प्रश्न संख्या: 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्मों में से किसका एक अद्विती ह हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे बज्र गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) $x - 3 y - 3 = 0$ ;

$3 x - 9 y - 2 = 0$

हल:

दिया गया है, $x - 3 y - 3 = 0$ ;

$3 x - 9 y - 2 = 0$

दिये गये समीकरणों को $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ तथा $a_{2} + b_{2} y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर हम पाते हैं

$a_{1} = 1, b_{1} = - 3, c_{1} = - 3$ तथा

$a_{2} = 3, b_{2} = - 9, c_{2} = - 2$

अत:,

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{1}{3}$

तथा, $\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{- 3}{- 9} = \frac{1}{3}$

तथा, $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$

यहाँ चूँकि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।

(ii) $2 x + y = 5$

$3 x + 2 y = 8$

हल:

दिया गया है, $2 x + y = 5$

$3 x + 2 y = 8$

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ तथा $a_{2} + b_{2} y + c_{2} = 0$ से तुलना करने पर हम पाते हैं कि

$a_{1} = 2, b_{1} = 1, c_{1} = - 5$

तथा, $a_{2} = 3, b_{2} = 2, c_{2} = - 8$

अत:,

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{3}$

तथा $\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{1}{2}$

तथा, $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{- 5}{- 8} = \frac{5}{8}$

यहाँ चूँकि, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का केवल एक हल अर्थात अद्वितीय हल होगा।

अत: बज्र गुणक के का उपयोग कर

हम पाते हैं,

$\frac{x}{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}} = \frac{y}{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}$ $= \frac{1}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$

$\frac{x}{1 (- 8) - 2 (- 5)} = \frac{y}{(- 5) 3 - (- 8) 2}$ $= \frac{1}{2 \times 2 - 3 \times 1}$

$\Rightarrow \frac{x}{- 8 + 10} = \frac{y}{- 15 + 16} = \frac{1}{4 - 3}$

$\Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1}$

अब जब, $\frac{x}{2} = \frac{1}{1}$

$∴ x = 2$

तथा जब $\frac{y}{1} = \frac{1}{1}$

$∴ y = 1$

अत:, $x = 2$ और $y = 1$ उत्तर

(iii) $3 x - 5 y = 20$ ;

$6 x - 10 y = 40$

हल:

दिया गया है, $3 x - 5 y = 20$ ;

$\Rightarrow 3 x - 5 y - 20 = 0$ ----------(i)

$6 x - 10 y = 40$

$\Rightarrow 6 x - 10 y - 40 = 0$ ------------(ii)

$a_{1} = 3, b_{1} = - 5, c_{1} = - 20$

तथा, $a_{2} = 6, b_{2} = - 10, c_{2} = - 40$

अत:, $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

तथा, $\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{- 5}{- 10} = \frac{1}{2}$

तथा, $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{- 20}{- 40} = \frac{1}{2}$

यहाँ चूँकि, $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अत: दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) $x - 3 y - 7 = 0$ ;

$3 x - 3 y - 15 = 0$

हल:

दिया गया है, $x - 3 y - 7 = 0$ ---------(i)

$3 x - 3 y - 15 = 0$ ---------(ii)

$a_{1} = 1, b_{1} = - 3, c_{1} = - 7$

तथा, $a_{2} = 3, b_{2} = - 3, c_{2} = - 15$

अब,

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{1}{3}$

तथा, $\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{- 3}{- 3} = 1$

तथा, $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{- 7}{- 15} = \frac{7}{15}$

यहाँ चूँकि, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ , अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का केवल एक हल होगा।

अब हम जानते हैं कि

$\Rightarrow \frac{x}{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}} = \frac{y}{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}$ $= \frac{1}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$

अत: बज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर

अत:,

$\frac{x}{(- 3) (- 15) - (- 3) (- 7)}$ $= \frac{y}{(- 7) 3 ? (- 15) 1}$ $= \frac{1}{1 (- 3) - 3 (- 3)}$

$\Rightarrow \frac{x}{45 - (21)} = \frac{y}{- 21 - (- 15)}$ $= \frac{1}{- 3 + 9}$

$\Rightarrow \frac{x}{24} = \frac{y}{- 21 + 15} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{x}{24} = \frac{y}{- 6} = \frac{1}{6}$

अब जब, $\frac{x}{24} = \frac{1}{6}$

अत:, $6 x = 24$

$\Rightarrow x = \frac{24}{6} = 4$

तथा जब, $\frac{y}{- 6} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow 6 y = - 6$

$\Rightarrow y = \frac{- 6}{6} = - 1$

अत:, $x = 4$ और $y = - 1$ उत्तर

प्रश्न संख्या: 2. (i) $a$ और $b$ के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

$2 x + 3 y = 7$

$(a - b) x + (a + b) y$ $= 3 a + b - 2$

हल:

दिया गया है, $2 x + 3 y = 7$

$(a - b) x + (a + b) y$ $= 3 a + b - 2$

$a_{1} = 2, b_{1} = 3, c_{1} = - 7$

तथा, $a_{2} = a - b, b_{2} = a + b$ , $c_{2} = - (3 a + b - 2)$

अब हम जानते हैं कि एक रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए निम्न स्थिति आवश्यक है।

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

दिये गये समीकरण युग्म के लिए $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{1}$ , तथा $c_{1}, c_{2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं

$\frac{2}{a - b} = \frac{3}{a + b} = \frac{- 7}{- (3 a + b - 2)}$

अब, $\frac{2}{a - b} = \frac{7}{3 a + b - 2}$

बज्र गुणन करने पर

$2 (3 a + b - 2) = 7 (a - b)$

$\Rightarrow 6 a + 2 b - 4 = 7 a - 7 b$

$\Rightarrow 6 a - 7 a + 2 b + 7 b - 4 = 0$

$\Rightarrow - a + 9 b - 4 = 0$

$\Rightarrow - (a - 9 b + 4) = 0$

$\Rightarrow a - 9 b + 4 = 0$ ----------(i)

तथा अब

$\frac{2}{a - b} = \frac{3}{a + b}$

बज्र गुणन से हम पाते कि

$2 (a + b) = 3 (a - b)$

$\Rightarrow 2 a + 2 b = 3 a - 3 b$

$\Rightarrow 2 a - 3 a + 2 b + 3 b = 0$

$\Rightarrow - a + 5 b = 0$ ----------(ii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं

$(a - 9 b + 4) + (- a + 5 b) = 0$

$\Rightarrow a - 9 b + 4 - a + 5 b = 0$

$\Rightarrow - 4 b + 4 = 0$

$\Rightarrow 4 b = 4$

$∴ b = \frac{4}{4} = 1$

अब $b$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

$- a + 5 \times 1 = 0$

$\Rightarrow - a + 5 = 0$

$\Rightarrow a = 5$

अत: $a = 5$ तथा $b = 1$ मान के लिए दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का अपरिमित रूप से अनेक हल होगें। उत्तर

(ii) $k$ के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरण के युग्म का कोई हल नहीं है ?

$3 x + y = 1$

$(2 k - 1) x + (k - 1) y = 2 k + 1$

हल:

दिया गया है, $3 x + y = 1$

$(2 k - 1) x + (k - 1) y = 2 k + 1$

$a_{1} = 3, b_{1} = 1, c_{1} = - 1$

तथा, $a_{2} = 2 k - 1, b_{2} = k - 1, c_{1} = 2 k + 1$

यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{2 k - 1}$

तथा, $\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{1}{k - 1}$

तथा, $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{- 1}{2 k + 1}$

एक दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को कोई हल नहीं होता है, जब

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

अत:, $\frac{3}{2 k - 1} = \frac{1}{k - 1}$

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

$3 (k - 1) = 1 (2 k - 1)$

$\Rightarrow 3 k ? 3 = 2 k - 1$

$\Rightarrow 3 k - 2 k = - 1 + 3$

$\Rightarrow k = 2$

अत: $k = 2$ मान के लिए दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा। उत्तर

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