त्रिकोणमिति का परिचय : एनसीईआरटी प्रश्ना वली 8.4 भाग 4

 

एनसीईआरटी प्रश्ना वली 8.4 भाग 4

प्रश्न संख्या (5) (vi) 1 + sin A1 – sin A = sec A + tan A

हल

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = 1 + sin A1 – sin A

1 + sin A1 + sin A से गुणा करने पर हम पाते हैं

= 1 + sin A1 – sin A × 1 + sinA1 + sin A

= (1 + sin A)212 – sin2A

= (1 + sin A)2cos2 A

= 1 + sin Acos A

= 1cos A + sin Acos A

= sec A + tan A प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (vii) sin θ – 2 sin3 θ2 cos3 θ – cos θ = tan θ

हल:

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = sin θ – 2 sin3 θ2 cos3 θ – cos θ

अंश से sin θ तथा हर से cos θ उभयनिष्ठ लेने पर

= sin θ (1 – 2 sin2 θ)cos θ (2 cos2 θ –1)

= sin θ (1 – 2 (1 – cos2 θ))cos θ (2cos2θ – 1)

= sin θ (1 – 2 + 2 cos2 θ)cos θ (2 cos2θ – 1)

= sin θ (– 1 + 2 cos2 θ)cos θ (2 cos2θ – 1)

= sin θ (2 cos2 θ – 1)cos θ (2 cos2 θ – 1)

= sin θcos θ

= tan θ प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (viii) (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A

हल:

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2

= sin2 A + cosec2 A + 2sin A cosec A + cos2 A + sec2 A + 2cosA sec A

= sin2 A + cosec2 A + 2 sin A × 1sin A + cos2 A + sec2 A + 2 cos A × 1cos A

= sin2 A + cosec2 A + 2 + cos2 A + sec2 A + 2

= (sin2 A + cos2 A) + 4 + cosec2 A + sec2 A

= 1 + 4 + (1 + cot2 A) + (1 + tan2 A)

[∵ (1 + cot2 A = cosec2 A) तथा (1 + tan2 A = sec2 A)]

= 5 + 1 + cot2 A + 1 + tan2 A

= 5 + 1 + 1 + cot2 A + tan2 A

= 7 + tan2 A + cot2 A प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = 1tan A + cot A

[संकेत: वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग अलग सरल कीजिए]

हल:

दिया गया है LHS (बाँया पक्ष) = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)

= (1sin A – sin A) (1cosA – cos A)

= (1 – sin2 Asin A) (1 – cos2Acos A)

= cos2 Asin A × sin2 Acos A

= cos A cos Asin A × sin A sin Acos A

= cos A sin A

RHS (दाँया पक्ष) = 1tan A + cot A

= 1sinAcosA + cosAsinA

= 1sin2 A + cos2 Acos A sin A

= 11cos A sin A

[∵ sin2 A + cos2 A = 1]

= 1 × (cos A sin A)1

= cos A sin A

अत: LHS (बाँया पक्ष) = RHS (दाँया पक्ष) प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (x) (1 + tan2 A1 + cot2 A) = (1 – tan A1 – cot A)2 = tan2 A

हल:

दिया गया है LHS (बाँया पक्ष) (1 + tan2 A1 + cot2 A)

= 1 + tan2 A1 + 1tan2 A

= 1 + tan2 Atan2 A + 1tan2A

= 1 + tan2 A × tan2 A1 + tan2 A

= tan2 A

अब दिया गया है मध्य पद

= (1 – tan A1 – cot A)2

= (1 – tanA1 – 1tanA)2

= (1 – tan Atan A – 1tan A)2

= (1 – tanA × tan Atan A – 1)2

= (1 – tan A)2 tan2 A(tan A – 1)2

= (1 + tan2 A – 2 tan A)(tan2A)tan2 A + 1 – 2 tan A

= (1 + tan2 A – 2 tan A) (tan2A)1 + tan2 A – 2 tan A

= tan2 A

अत:

(1 + tan2 A1 + cot2 A) = (1 – tan A1 – cot A)2 = tan2 A प्रमाणित