त्रिकोणमिति का परिचय : एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.4 का हल भाग 3

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 8.4 का हल भाग 3

प्रश्न संख्या (5) निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं।

(i) (cosec θ – cot θ)2 = 1 – cos θ1 + cos θ

हल:

LHS (बायाँ पक्ष) = (cosec θ – cot θ)2

= (1sin θ – cos θsin θ)2

=(1 – cos θsin θ)2

=(1 – cos θ)2sin2 θ

= (1 – cos θ)21 – cos2 θ

= (1 – cos θ)212 – cos2 θ

= (1 – cos θ) (1 – cos θ)(1 + cos θ) (1 – cos θ)

= 1 – cos θ1 + cos θ प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (ii) cos A1 + sin A + 1 + sin Acos A = 2 sec A

हल

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = cos A1 + sin A + 1 + sin Acos A

= cos2A + (1 + sin A)2(1+sin A) cos A

=cos2 A + 12 + sin2A + 2sinA(1 + sin A) cos A

= (cos2A + sin2A) + 1 + 2sin A(1+sin A) cos A

[∵ cos2A + sin2A = 1]

= 1 + 1 + 2sin A(1+sin A) cos A

= 2 + 2sin A(1+sin A) cos A

अंश में से 2 को उभयनिष्ठ लेने पर

= 2 (1 + sin A)(1 + sin A) cos A

= 2cos A

= 2 × 1cos A

= 2 sec A = RHS (दायाँ पक्ष) प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (iii) tan θ1 – cot θ + cot θ1 – tan θ = 1 + sec θ cosec θ

[संकेत : व्यंजक को sin θ तथा cos θ के पदों में लिखिए]

हल

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष)

= tan θ1 – cot θ + cot θ1 – tan θ

= sin θcos θ1 – cos θsin θ + cos θsin θ1 – sin θcos θ

= sin θcos θsin θ – cos θsin θ + cos θsin θcos θ – sin θcos θ

= sin θcos θ × sin θsin θ – cos θ + cos θsin θ × cos θcos θ – sin θ

= sin2 θcos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θsinθ (cos θ – sin θ)

= sin2 θcos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θsinθ (– sin θ + cos θ)

उपरोक्त व्यंजक के दूसरे पद के हर से ऋण (–) को उभनिष्ठ लेने पर

= sin2 θcos θ (sin θ – cos θ) + cos2 θ– sinθ (sin θ – cos θ)

= sin2 θcos θ (sin θ – cos θ)  –  cos2 θsinθ (sin θ – cos θ)

1sin θ – cos θ को उभयनिष्ठ लेने पर

= 1sinθ – cosθ (sin2θcosθ – cos2θsinθ)

= 1sinθ – cosθ (sin3 θ – cos3 θsin θ cos θ)

= 1sinθ – cosθ [(sin θ – cos θ) (sin2θ + cos2 θ + sin θ cos θ)sin θ cos θ]

= sin2θ + cos2 θ + sin θ cos θsin θ cos θ

= 1 + sin θ cos θsin θ cos θ

[∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]

= 1sin θ cos θ + sin θ cos θsin θ cos θ

= 1sin θ cos θ + 1

= 1sin θ × 1cos θ + 1

= cosec θ sec θ + 1

= sec θ cosec θ + 1

= 1 + sec θ cosec θ प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (iv) 1 + sec Asec A = sin2 A1 – cos A

[संकेत : वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग अलग सरल कीजिए]

हल:

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = 1 + sec Asec A

= 1 + 1cos A1cos A

= cos A + 1cos A1cos A

= cos A + 1cos A × cos A1

= cos A + 1

= 1 + cos A

1 – cos A1 – cos A से गुणा करने पर

= 1 + cos A × 1 – cos A1 – cos A

= (1 + cos A) (1 – cos A)1 – cos A

= 12 – cos2 A1 – cos A

= 1 – cos2 A1 – cos A

= sin2 A1 – cos A प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) (v) cos A – sin A + 1cos A + sin A – 1 = cosec A + cot A

हल:

दिया गया है LHS (बायाँ पक्ष) = cos A – sin A + 1cos A + sin A – 1

अंश तथा हर को sin A से भाग देने पर हम पाते हैं कि

= cos A – sin A + 1sinAcos A + sinA –1sin A

= cos Asin A – sin Asin A + 1sin Acos Asin A + sin Asin A – 1sin A

= cot A – 1 + cosec Acot A + 1 – cosec A

= cot A – (1 – cosec A)cot A + (1 – cosec A)

cot A – (1 – cosec A)cot A – (1 – cosec A) गुणा करने पर हम पाते हैं कि

= cot A – (1 – cosec A)cot A + (1 – cosec A) × cot A – (1 – cosec A)cot A – (1 – cosec A)

= [ cot A – (1 – cosec A) ]2(cot A)2 – (1 – cosec A)2

= cot2 A + (1 –cosec A)2 – 2 cot A (1 – cosec A)cot2 A – (12 + cosec2 A – 2 cosec A)

= cot2 A + 12 + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec Acot2 A – 1 – cosec2 A + 2 cosec A

= (cot2 A + 1) + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec A(cot2 A – cosec2 A) – 1 + 2 cosec A

= cosec2 A + cosec2 A – 2 cosec A – 2 cot A + 2 cot A cosec A– 1 – 1 + 2 cosec A

[∵ (cot2 A + 1 = cosec2 A) तथा (cot2 A – cosec2 A = –1)]

= 2cosec2 A + 2 cot A cosec A – 2 cosec A – 2 cot A2 cosec A – 2

= 2 cosec A (cosec A + cot A) – 2 (cosec A + cot A)2 cosec A – 2

(cosec A + cot A) को उभयनिष्ठ लेने पर

= (cosec A + cot A) (2 cosec A – 2)2 cosec A – 2

= cosec A + cot A प्रमाणित