निर्देशांक ज्यामिति : एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.4(ऐच्छिक)

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.4(ऐच्छिक)

प्रश्न (1) बिन्दुओं A(2, –2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y – 4 =0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।

हल :

बिन्दुओं जो रेखाखंड को जोड़ती हैं = A(2, –2) और B(3, 7)

विभाजित करने वाली रेखा 2x + y – 4 =0 - - - - -(i)

अत: विभाजन का अनुपात = ?

मान लिया कि दी गई रेखा बिन्दुओं A(2, –2) और B(3, 7) को मिलाने वाली रेखा को k:1 अनुपात में विभाजित करती है।

हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार जब कोई बिन्दु P(x,y) बिन्दुओं Q(x1, y1) तथा R(x2, y2) को मिलाने वाली रेखा को k:1 के अनुपात में जोड़ता है, तो

P(x, y) $=(\frac{k{x}_2+x_1}{k+1},\frac{k{y}_2+y_1}{k+1})$

, x1 = 2, y1 = –2

और, x2 = 3, y2 = 7

अत:, विभाजन सूत्र के अनुसार

$x=\left(\frac{k\times 3+2}{k+1}\right)$

$\Rightarrow x=\left(\frac{3k+2}{k+1}\right)$

और, $y=\left(\frac{k\times 7+(-2)}{k+1}\right)$

$\Rightarrow y=\left(\frac{7k-2}{k+1}\right)$

अब, दी गयी विभाजक रेखा है

2x + y – 4 = 0

इस ब्यंजक में x तथा y का मान रखने पर

$2\left(\frac{3k+2}{k+1}\right)+\left(\frac{7k-2}{k+1}\right)-4=0$

$\Rightarrow \frac{6k+4}{k+1}+\frac{7k-2}{k+1}-4=0$

$\Rightarrow \frac{(6k+4+7k-2)-4(k+1)}{k+1}=0$

बज्र गुणन से

6 k + 4 + 7 k – 2 –4(k + 1)=0

⇒ 6k + 4 + 7 k – 2 – 4k – 4 =0

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 6 k + 7 k – 4 k –2 –4 + 4 = 0

⇒ 9 k – 2 = 0

⇒ 9 k = 2

$\Rightarrow k=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{k}{1}=\frac{9}{2}$

अत:, k : 1 = 9 : 2

अत: विभाजन का अनुपात = 9 : 2 उत्तर

प्रश्न (2) x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।

हल

दिये गये बिन्दु हैं (x, y), (1, 2) तथा (7, 0)

यदि ये बिन्दुएँ संरेखी हैं, तो x तथा y = ?

मान लिया कि ये बिन्दु एक त्रिभुज बनाते हैं।

तथा प्रश्न के अनुसार यदि दिये गये बिन्दु संरेखी हैं, तो इन बिन्दुओं से बने हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 होगा।

हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो

त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]

यहाँ, x1 = x, y1 = y

तथा, x2 = 1, y2 = 2

तथा, x3 = 7, y3 = 0

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 1/2 [x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2)]

= 1/2 [{x × 2} + {1 (–y)} + {7y – 14} ]

= 1/2 [–2 x – y + 7 y – 14]

= 1/2 [2x + 6 y – 14]

= 1/2 × 2 [x + 3 y – 7]

= x + 3 y – 7

अब चूँकि दिये गये बिन्दु यदि संरेखी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

अत:, x + 3 y – 7 = 0

⇒ x + 3y = 7

अत: x और y के बीच संबंध है: x + 3 y = 7 उत्तर

प्रश्न (3) बिन्दुओं (6, –6), (3, –7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, बिन्दु, जिससे होकर वृत जाता है =(6, –6), (3, –7) तथा (3, 3)

अत: दिये गये बिन्दुओं से जाने वाले वृत्त का केन्द्र = ?

मान लिया कि वृत्त के बिन्दु हैं A(6, –6), B(3, –7) तथा C(3, 3)

तथा वृत्त का केन्द्र = O(x, y)

अब चूँकि OA, OC तथा OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं

अत:, OA = OB = OC

हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र के अनुसार दो बिन्दुओं P (x1, y1) और Q (x2, y2) के बीच की दूरी,

PQ $=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$

OA की गणना

यहाँ, x1 = x, y1 = y

और, x2 = 6, y2 = –6

अत:, निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

OA $=\sqrt{{(6-x)}^2+{(y-(-6))}^2}$

⇒ OA $=\sqrt{{(6-x)}^2+{(y+6)}^2}$ - - - - - (i)

OB की गणना

यहाँ, x1 = x, y1 = y

और, x2 = 3, y2 = –7

अत:, निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

OB $=\sqrt{{(x-3)}^2+{(y-(-7))}^2}$

⇒ OB $=\sqrt{{(x-3)}^2+{(y+7)}^2}$ - - - - - (ii)

OC की गणना

यहाँ, x1 = x, y1 = y

तथा, x2 = 3, y2 = 3

अत:, निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

OC $=\sqrt{{(x-3)}^2+{(y-3)}^2}$ - - - - (iii)

अब चूँकि, OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्या हैं]

अत: समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं कि

$\sqrt{{(6-x)}^2+{(y+6)}^2}$ $=\sqrt{{(x-3)}^2+{(y+7)}^2}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर

(6 – x)2 + (y + 6)2 = (x – 3)2 + (y + 7)2

⇒ 62 + x2 – 2×6×x + y2 + 62 + 2 × y × 6 = x2 + 32 – 2 × x × 3 + y2 + 72 + 2 × y × 7

⇒ 36 + x2 – 12x + y2 + 36 + 12 y = x2 + 9 – 6x + y2 + 49 + 14 y

ऊपर के व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ x2 + y2 – 12 x + 12 y + 36 + 36 = x2 + y2 – 6 x + 14 y + 9 + 49

दायाँ पक्ष को बायीं तरफ लाने पर

⇒ x2 + y2 – 12 x + 12 y + 36 + 36 – (x2 + y2 – 6 x + 14 y + 9 + 49) = 0

⇒ x2 + y2 – 12 x + 12 y + 36 + 36 – x2 – y2 + 6x – 14 y – 58 = 0

⇒ – 12 x + 12 y + 6x – 14 y + 72 – 58 = 0

⇒ – 6x – 2y + 14 = 0 - - - - (iv)

अब चूँकि, OB = OC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]

अत: समीकरण (ii) और (iii) से हम जानते हैं कि

$\sqrt{{(x–3)}^2+{(y+7)}^2}$ $=\sqrt{{(x–3)}^2+{(y–3)}^2}$

⇒ x2 + 32 – 2 × x × 3 + y2 72 + 2 × y × 7 = x2 + 32 – 2 × x × 3 + y2 + 32 – 2 × y × 3

⇒ x2 + 9 – 6 x + y2 + 49 + 14 y = x2 + 9 – 6x + y2 + 9 – 6 y

⇒ 9 – 6 x + 49 + 14 y = 9 – 6x + 9 – 6 y

⇒ 9 + 49 +14 y = 9 + 9 – 6 y

⇒ 58 + 14 y = 18 – 6 y

⇒ 14 y + 6 y = 18 – 58

⇒ 20 y = – 40

$\Rightarrow y=\frac{–40}{20}=–2$

अत:, y = – 2

समीकरण (iv) से हम पाते हैं कि

– 6 x – 2y + 14 = 0

इस समीकरण (iv) में y का मान रखने पर हम पाते हैं कि

– 6 x – 2 (– 2) + 14 = 0

⇒ – 6 x + 4 + 14 = 0

⇒ – 6 x + 18 = 0

⇒ 18 = 6 x

$\Rightarrow x=\frac{18}{6}=3$

अत:, x = 3

अत: दिये गये वृत्त के केन्द्र का निर्देशांक = (3, –2) उत्तर

प्रश्न (4) किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (–1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष = (–1, 2) तथा (3, 2)

अत: अन्य दोनों शीर्ष = ?

मान लिया कि, ABCD एक वर्ग है जिसके दिये गये सम्मुख शीर्ष A(–1, 2) और C(3, 2) हैं।

हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र के अनुसार दो बिन्दुओं P (x1, y1) और Q (x2, y2) के बीच की दूरी,

PQ $=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$

C और D के बीच की दूरी अर्थात CD की गणना

मान लिया कि D के निर्देशांक = x, y

यहाँ, x1 = 3, y1 = 2

तथा, x1 = x, y1 = y

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

CD $=\sqrt{{(3-x)}^2+{(2-y)}^2}$ - - - - - - (i)

A और D के बीच की दूरी अर्थात AD की गणना

यहाँ, x1 = –1, y1 = 2

तथा, x1 = x, y1 = y

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

AD $=\sqrt{{(-1-x)}^2+{(2-y)}^2}$ - - - - - (ii)

अब चूँकि CD और AD एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं

अत:, CD = AD

अत: समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं कि

$\sqrt{{(3-x)}^2+{(2-y)}^2}$ $=\sqrt{{(-1-x)}^2+{(2-y)}^2}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर

(3 – x)2 + (2 – y)2 = (– 1 – x)2 + (2 – y)2

⇒ 32 + x2 – 2 × 3 × x + 22 + y2 – 2 × 2 × y = (– 1)2 + x2 – 2 (– 1) x + 22 + y2 – 2 × 2 × y

⇒ 9 + x2 – 6 x + 4 + y2 – 4 y = 1 + x2 + 2x + 4 + y2 – 4 y

⇒ 9 – 6 x + 4 – 4 y = 1 + 2 x + 4 – 4 y

⇒ 13 – 6 x = 5 + 2 x

⇒ – 6 x – 2 x = 5 – 13

⇒ – 8 x = – 8

⇒ 8 x = 8

$\Rightarrow x=\frac{8}{8}=1$

अत:, x = 1

A तथा C की बीच की दूरी अर्थात AC की गणना

यहाँ, x1 = –1, y1 = 2

और, x1 = 3, y1 = 2

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार

AC $=\sqrt{{(-1-3)}^2+{(2-2)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+0^2})$

$=\sqrt{16}$

⇒ AC = 4 - - - - (iii)

अब समकोण त्रिभुज ACB में

AC2 = AD2 + DC2

AC, AD तथा CD का मान समीकरण (iii), (ii) तथा (i) के अनुसार रखने पर हम पाते हैं

42 $={\left(\sqrt{{(-1-x)}^2+{(2-y)}^2}\right)}^2$ $+{\left(\sqrt{{(3-x)}^2+{(2-y)}^2}\right)}^2$

⇒ 16 = {(– 1 – x)2 + (2 – y)2} + {(3 – x)2 + (2 – y)2}

⇒ 16 = {(– 1)2 + x2 – 2 (– 1) x + 22 + y2 – 2 × 2 × y} + {32 + x2 – 2 × 3 × x + 22 + y2 – 2 × 2 × y }

⇒ 16 = {1 + x2 + 2x + 4 + y2 – 4 y } + {9 + x2 – 6 x + 4 + y2 – 4 y }

⇒ 16 = 1 + x2 + 2x + 4 + y2 – 4 y + 9 + x2 – 6 x + 4 + y2 – 4 y

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 16 = x2 + x2 + y2 + y2 + 2 x – 6 x – 4 y – 4 y + 1 + 4 + 9 + 4

⇒ 16 = 2 x2 + 2 y2 – 4 x – 8 y + 18

x = 1 मान रखने पर हम पाते हैं कि

16 = 2 (1)2 + 2 y2 – 4 × 1 – 8 y + 18

⇒ 16 = 2 + 2 y2 – 4 – 8 y + 18

⇒ 16 = 2 y2 – 8 y + 16

⇒ 2 y2 – 8 y = 16 – 16

⇒ 2 y2 – 8 y = 0

⇒ 2y (y – 4) = 0

अब जब 2y = 0

अत:, y = 0

तथा, यदि y – 4 = 0

अत:, y = 4

अत:, y = 0 or 4

अब, हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को बीच में काटते हैं।

मान लिया कि दिये गये वर्ग में O मध्य बिन्दु है जो AC तथा DB को दो बराबर भागों में बाँटता है।

AC के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक की गणना

हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2) के मध्य बिन्दु का निर्देशांक

$=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

यहाँ, x1 = –1, y1 = 2

तथा, x2 = 3, y2 = 2

अत: AC के मध्य बिन्दु O के निर्देशांक

$(\frac{-1+3}{2},\frac{2+2}{2})$

$=(\frac{2}{2},\frac{4}{2})$

⇒ O के निर्देशांक = (1, 2) - - - - (iv)

BD के मध्य बिन्दु O की गणना

यहाँ D = (1, 0) या (1, 4)

मान लिया कि B = (x, y)

अत: यहाँ, x1 = x, y1 = y

तथा, x2 = 1, y2 = 0 or 4

अत: BD के मध्य बिन्दु O का निर्देशांक

$=(\frac{x+1}{2},\frac{y+y_1}{2})$

चूँकि O = (1, 2) [समीकरण (iv)]

अत:, (1, 2) $=(\frac{x+1}{2},\frac{y+y_1}{2})$

अत:, $\frac{x+1}{2}=1$ तथा $\frac{y+y_1}{2}=2$

अब $\frac{x+1}{2}=1$ के लिए

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

x + 1 = 1 × 2

⇒ x + 1 = 2

अत:, x = 2 – 1 = 1

अब, $\frac{y+y_1}{2}=2$ के लिए

जब y1 = 0

तब, $\frac{y+0}{2}=2$

$\Rightarrow \frac{y}{2}=2$

बज्र गुणन के द्वारा हम पाते हैं

y = 2 × 2 = 4

तथा जब y1 = 4

अत: $\frac{y+y_1}{2}=2$

$\Rightarrow \frac{y+4}{2}=2$

बज्र गुणन से

y + 4 = 2 × 2

⇒ y + 4 = 4

⇒ y = 4 – 4 = 0

अत:, y = 4 or 0

अत:, D = (1, 4) या (1, 0)

अत: दिए गये वर्ग के दो अन्य शीर्षों के निर्देशांक = (1, 0) और (1, 4) उत्तर