निर्देशांक ज्यामिति : एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.2 का हल

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.2 का हल

विभाजन सूत्र

दो बिन्दुओं A(x1, y1) और B(x2, y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिन्दु P(x, y) के निर्देशांक हैं:

$(\frac{m_1{x}_2+m_2{x}_1}{m_1+m_2},\frac{m_1{y}_2+m_2{y}_1}{m_1+m_2})$

इसे विभाजन सूत्र [सेक्शन फॉर्मूला (Section Formula)] कहते हैं।

विभाजन सूत्र (सेक्शन फॉर्मूला) की विशिष्ट स्थिति

एक रेखाखंड का मध्य बिन्दु उसे 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है। अत: बिन्दुओं A(x1, y1) और B(x2, y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

$=(\frac{1.x_1+1.x_2}{1+1},\frac{1.y_1+1.y_2}{1+1})$ $=(\frac{x_1{x}_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

प्रश्न (1) उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल

दिये गये बिन्दु हैं (–1, 7) और (4, –3)

दिए गए बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को विभाजित किये जाने का अनुपात = 2:3

अत: उस बिन्दु का निर्देशांक जो दिये गये रेखा खंड को विभाजित करता है = ?

मान लिया दिये गये बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिन्दु का निर्देशांक है P(x, y)

हम जानते हैं कि

विभाजन सूत्र , के अनुसार यदि कोई बिन्दु P(x, y) किसी दो बिन्दुओं A(x1, y1) and B(x2, y2) को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो

$x=\frac{m_1{x}_2+m_2{x}_1}{m_1+m_2}$ and $y=\frac{m_1{y}_2+m_2{y}_1}{m_1+m_2}$

यहाँ, x1 = –1, y1= 7

और, x2 = 4, y2 =–3

तथा, m1 = 2, m2 =3

अत: विभाजन सूत्र के अनुसार

$x=\frac{(2\times 4)+(3\times (-1))}{2+3}$

$\Rightarrow x=\frac{8-3}{5}$

$\Rightarrow x=\frac{5}{5}=1$

तथा, $y=\frac{(2\times (-3))+(3\times 7)}{2+3}$

$\Rightarrow y=\frac{-6+21}{5}$

$\Rightarrow y=\frac{15}{5}=3$

अत: दिये गये बिन्दु का निर्देशांक = (1, 3) उत्तर

प्रश्न (2) बिन्दुओं (4, –1) और (–2, –3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

दिये गये बिन्दु हैं (4, –1) और (–2, –3)

अत: दिये गये बिन्दुओं को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं का निर्देशांक = ?

मान लिया कि दिये गये बिन्दु हैं A(4, –1) तथा B(–2, –3)

तथा दिये गये रेखा खंड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दु हैं

P(x1, y1) and Q(x2, y2)

तथा यहाँ AP = PQ = QB

हम जानते हैं कि विभाजन सूत्र , के अनुसार यदि कोई बिन्दु P(x, y) किसी दो बिन्दुओं A(x1, y1) and B(x2, y2) को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो

$x=\frac{m_1{x}_2+m_2{x}_1}{m_1+m_2}$ and $y=\frac{m_1{y}_2+m_2{y}_1}{m_1+m_2}$

(a) बिन्दु P(x1, y1) के निर्देशांक, जो दिये गये रेखाखंड को 1:2 में विभाजित करती है।

यहाँ, A(x1=4, y1=–1)

तथा, B(x2=–2, y2=–3)

तथा, m1=1 and m2=2

बिभाजन सूत्र के अनुसार, P(x1, y1) के लिए

$x_1=\frac{(1\times (-2))+(2\times 4)}{1+2}$

$\Rightarrow x_1=\frac{-2+8}{3}$

$\Rightarrow x_1=\frac{6}{3}$

$\Rightarrow x_1=2$

तथा, $y_1=\frac{(1\times (-3))+(2\times (-1))}{1+2}$

$\Rightarrow y_1=\frac{-3+(-2)}{3}$

$\Rightarrow y_1=\frac{-3-2}{3}$

$\Rightarrow y_1=\frac{-5}{3}$

अत:, P(x1, y1) $=(2,\frac{-5}{3})$

(b) बिन्दु Q(x2, y2) जो दिये गये बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को AB को 2:1 अनुपात में विभाजित करता है।

यहाँ, A(x1=4, y1=–1)

तथा, B(x2=–2, y2=–3)

तथा, m1=2, m2=1

विभाजन सूत्र के अनुसार, Q(x2, y2 के लिए

$x_2=\frac{\left(2x(-2)\right)+(1\times 4)}{2+1}$

$\Rightarrow x_2=\frac{-4+4}{3}$

$\Rightarrow x_2=0$

तथा, $y_2=\frac{(2\times (-3))+(1\times (-1))}{2+1}$

$\Rightarrow y_2=\frac{-6+(-1)}{3}$

$\Rightarrow y_2=\frac{-7}{3}$

अत: दिये गये बिन्दुओं के निर्देशांक $=(2,\frac{-5}{3})$ तथा $(0,\frac{-7}{3})$ उत्तर

प्रश्न (3) आपके स्कूल में खेल कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के $\frac{1}{4}$  भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल

दिया गया है,

गमलों की कुल संख्या = 100

AD के अनुदिश गमलों की कुल संख्या= 100

प्रत्येक गमलों के बीच की दूरी = 1 m

अत: कुल दूरी = 100 × 1m = 100m

निहारिका द्वारा झंडा गाड़ने की जगह = AD के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर में दूसरी पंक्ति में।

प्रीत के झंडा गाड़ने की जगह = AD के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर आठवीं लाइन पर

रश्मि के झंडा गाड़ने की जगह = दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में)

अत: रश्मि द्वारा झंडा गाड़ने की जगह का निर्देशांक = ?

मान लिया कि निहारिका द्वारा लगाये गये झंडे की जगह $N$ तथा प्रीत द्वारा लगाये गये झंडे की जगह $P$ है।

तथा N और P के ठीक बीच में गाड़े गये झंडे की जगह H है।

बिन्दु N के निर्देशांक की गणना

चूँकि निहारिका AD के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर में दूसरी लाईन पर झंडा गाड़ती है

अत: N झंडे की दूरी $=\frac{1}{4}\times 100m$ = 25 m

तथा लाईन संख्या = 2

अत: बिन्दु N का निर्देशांक = (2, 25)

बिन्दु P का निर्देशांक

चूँकि प्रीत द्वारा AD के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर में आठवीं लाईन पर झंडा लगाया जाता है

अत: दूरी $=\frac{1}{5}\times 100m$ = 20 m

तथा लाईन संख्या = 8

अत: बिन्दु P का निर्देशांक = (8, 20)

N(2, 25) और P(8, 20) के बीच की दूरी की गणना

हम जानते हैं कि, निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र के अनुसार दो बिन्दुओं के बीच की दूरी $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

यहाँ, x1 = 2, y1 = 25

तथा, x2 = 8, और y2 = 20

अत: दूरी सूत्र के अनुसार,

NP $=\sqrt{{(8-2)}^2+{(20-25)}^2}$

$=\sqrt{6^2+{(-5)}^2}$

$=\sqrt{36+25}$

⇒ NP $=\sqrt{61}$ m

बिन्दु R जो ठीक दोनों झंडों के बीच में है के निर्देशांक की गणना

मान लिया कि बिन्दु R का निर्देशांक = x, y

यहाँ, x1 = 2, y1 = 25

तथा, x2 = 8, और y2 = 20

अत:, $x=\frac{x_1+x_2}{2}$

$=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}$

$\Rightarrow x=5$

और $y=\frac{y_1+y_2}{2}$

$=\frac{25+20}{2}$

$=\frac{45}{2}$

⇒ $y=\frac{45}{2}$

अत: दोनों झंडों के बीच की बिन्दु का निर्देशांक $(5,\frac{45}{2})$

अत: दोनों झंडों के बीच की दूरी $=\sqrt{61}$ तथा दोनों झंडों के बीच की दूरी का निर्देशांक $=(5,\frac{45}{2})$ उत्तर

प्रश्न (4) बिन्दुओं (–3, 10) और (6, –8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (–1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।

हल

दिये गये बिन्दु हैं, (–3, 10) तथा (6, –8)

तथा दोनों बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को विभाजित करने वाला बिन्दु (–1, 6)

अत: बिन्दु (–1, 6) द्वारा विभाजित करने का अनुपात = ?

हम जानते हैं, यदि कोई बिन्दु P किसी रेखाखंड AB को k:1 अनुपात में विभाजित करता है, तो बिन्दु P का निर्देशांक = $(\frac{k{x}_2+x_1}{k+1},\frac{k{y}_2+y_1}{k+1})$

यहाँ, x1 = –3, x2 =6

तथा, y1 = 10 और y2 = –8

तथा बिन्दु P(–1, 6)

अत:, x=–1 तथा y = 6

मान लिया कि दिये गये बिन्दु द्वारा विभाजन का अनुपात = k:1

अत:,

$x=-1=\left(\frac{k\times 6+(-3)}{k+1}\right)$

$\Rightarrow -1=\left(\frac{6k-3}{k+1}\right)$

बज्र गुणन से

⇒ –1(k + 1) = 6k – 3

⇒ –k –1 = 6k – 3

⇒ –k + 6 k = –3 + 1

⇒ –7 k = – 2

$\Rightarrow k=\frac{2}{7}$

तथा, $y=6=\left(\frac{k\times (-8)+10}{k+1}\right)$

$\Rightarrow 6=\left(\frac{-8k+10}{k+1}\right)$

बज्र गुणन से

⇒ 6 (k + 1) = –8k + 10

⇒ 6 k + 6 = –8k + 10

⇒ 6k + 8k = 10 – 6

⇒ 14 k = 4

$\Rightarrow k=\frac{4}{14}$

$\Rightarrow k=\frac{2}{7}$

चूँकि अनुपात k : 1

अत: k मान रखने पर हम पाते हैं

$\frac{2}{7}:1$

$\Rightarrow \frac{2}{7}=1$

या, 2 : 7

अत: अनुपात = 2 : 7 उत्तर

प्रश्न (5) वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, –5) और B(–4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x–अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, रेखाखंड को मिलाने वाले बिन्दु A(1, –5) और B(–4, 5) हैं।

अत: यह x–अक्ष पर इस विभाजन बिन्दु का निर्देशांक = ?

मान लिया कि x–अक्ष पर विभाजन का अनुपात = k:1

हम जानते हैं, यदि कोई बिन्दु P किसी रेखाखंड AB को k:1 अनुपात में विभाजित करता है, तो बिन्दु P का निर्देशांक = $(\frac{k{x}_2+x_1}{k+1},\frac{k{y}_2+y_1}{k+1})$

यहाँ, x1 = 1, x2 = –4

तथा, y1 = –5, y2 = 5

मान लिया कि विभाजन बिन्दु का निर्देशांक = (x, y)

चूँकि रेखाखंड x–अक्ष से विभाजित होता है, अत:, y = 0

अत:, $y=\left(\frac{k\times 5+(-5)}{k+1}\right)$

$\Rightarrow 0=\left(\frac{5k-5}{k+1}\right)$

बज्र गुणन से

⇒ 0 (k+1) = 5k – 5

⇒ 5k – 5 = 0

⇒ 5k = 5

अत:, $k=\frac{5}{5}=1$

अत: अनुपात = 1:1

अब, $x=\frac{(k\times (-4))+1}{1+1}$

$\Rightarrow x=\left(\frac{1\times (-4)+1}{2}\right)$

$\Rightarrow x=\left(\frac{-4+1}{2}\right)$

$\Rightarrow x=\frac{-3}{2}$

अत: अनुपात = 1:1 तथा विभाजन करने वाले बिन्दु का निर्देशांक $=(\frac{-3}{2},0)$ उत्तर