निर्देशांक ज्यामिति : एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.2 का हल भाग2

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.2 का हल भाग2

प्रश्न (6) यदि (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समांतर चतुर्भुज के शीर्ष के निर्देशांक (1, 2), (4, y), (x, 6) तथा (3, 5)

अत:, x और y = ?

मान लिया कि समांतर चतुर्भुज का दिया गया शीर्ष A(1, 2), B(4, y), C(x, 6) और D(3, 5) हैं।

चूँकि दिये गये शीर्ष एक समांतर चतुर्भुज के हैं अत: इसके विकर्ण एक दूसरे को मध्य बिन्दु पर विभाजित करेंगे।

अर्थात विकर्ण एक दूसरे को 1:1 अनुपात में काटते हैं।

हम जानते हैं, यदि कोई बिन्दु P किसी रेखाखंड AB को k:1 अनुपात में विभाजित करता है, तो बिन्दु P का निर्देशांक = $(\frac{k{x}_2+x_1}{k+1},\frac{k{y}_2+y_1}{k+1})$

विकर्ण AC के मध्य बिन्दु O(a, b) के निर्देशांक की गणना

हम जानते हैं कि,

x1 = 1, x2 = x

तथा, y1 = 2, और y2 = 6

तथा अनुपात k: 1 = 1:1

अत:, $a=\frac{(1\times x)+1}{1+1}$

$a=\frac{x+1}{2}$ - - - - (i)

तथा, $b=\frac{(1\times 6)+2}{1+1}$

$\Rightarrow b=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}$

$\Rightarrow b=4$ - - - - - (ii)

विकर्ण BD के मध्य बिन्दु O(a, b) के निर्देशांक की गणना

यहाँ x1 = 4, x2 = 3

तथा, y1 = y, और y2 = 5

तथा, अनुपात k: 1 = 1:1

अत:, $a=\frac{1\times 3+4}{1+1}$

$\Rightarrow a=\frac{3+4}{2}$

$\Rightarrow a=\frac{7}{2}$ - - - - - (iii)

और, $b=\frac{(1\times 5)+y}{1+1}$

$\Rightarrow b=\frac{5+y}{2}$ - - - - - (iv)

मध्य बिन्दु उभयनिष्ठ है अत: समीकरण (i) और (iii) से

$\frac{x+1}{2}=\frac{7}{2}$

बज्र गुणन से

2(x + 1) = 14

⇒ 2x + 2 = 14

⇒ 2x = 14 – 2

⇒ 2x = 12

अत:, $x=\frac{12}{2}$

⇒ x = 6

तथा समीकरण (ii) और (iv) से

$4=\frac{5+y}{2}$

बज्र गुणन से हम पाते हैं कि

4 × 2 = 5 + y

⇒ 8 = 5 + y

⇒ 8 – 5 = y

⇒ y = 3

अत:, x = 6 और y = 3 उत्तर

प्रश्न (7) बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, –3) और B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल:

दिया गया है, वृत के मध्य बिन्दु अर्थात केन्द्र तथा व्यास के एक सिरे B का निर्देशांक क्रमश: (2, –3) तथा (1, 4) है।

अत: व्यास के दूसरे सिरे A का निर्देशांक =?

मान लिया कि A का निर्देशांक x, y है।

चूँकि मध्य बिन्दु अर्थात केन्द्र का निर्देशांक (2, –3) है

अत:, $2=\frac{x+1}{2}$

बज्र गुणन से

2 × 2 = x + 1

⇒ 4 = x + 1

अत:, x = 4 – 1 = 3

अत:, x = 3

और, $-3=\frac{y+4}{2}$

$\Rightarrow -3=\frac{y+4}{2}$

बज्र गुणन से

–3 × 2 = y + 4

⇒ –6 = y + 4

⇒ y = –6 – 4 = –10

अत: A(3, –10) उत्तर

प्रश्न (8) यदि A और B क्रमश: (–2, –2) और (2, –4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = $\frac{3}{7}$AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।

हल

दिया गया है, A(–2, 2) और B(2, –4)

और, AP =$\frac{3}{7}$ AB तथा P रेखाखंड AB पर स्थित है।

अत: P का निर्देशांक =?

चूँकि, AP = $\frac{3}{7}$ AB

अत:, $\frac{AP}{AB}=\frac{3}{7}$

स्पष्टत:, AP = 3

अत:, PB = 4

$\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{3}{4}$

अत: P रेखाखंड AB को 3:4 अनुपात में विभाजित करता है।

हम जानते हैं कि,

विभाजन सूत्र , के अनुसार यदि कोई बिन्दु P(x, y) किसी दो बिन्दुओं A(x1, y1) and B(x2, y2) को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो

$x=\frac{m_1{x}_2+m_2{x}_1}{m_1+m_2}$ तथा $y=\frac{m_1{y}_2+m_2{y}_1}{m_1+m_2}$

यहाँ, x1=–2, x2 = 2

तथा, y1 = –2, y2 = –4

और, m1 = 3, m2 = 4

मान लिया कि, P(x, y)

अत: निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार

$x=\frac{(3\times 2)+(4\times (-2))}{3+4}$

$=\frac{6+(-8)}{7}$

$=\frac{6-8}{7}$

$\Rightarrow x=\frac{-2}{7}$

और, $y=\frac{(3\times (-4))+(4\times (-2))}{3+4}$

$=\frac{-12+(-8)}{7}$

$=\frac{-12-8}{7}$

$\Rightarrow y=\frac{-20}{7}$

अत: बिन्दु P के निर्देशांक = $\frac{-2}{7},\frac{-20}{7}$ उत्तर

प्रश्न (9) बिन्दुओं A(–2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर

दिया गया है, A(–2, 2) और B(2, 8)

अत: दिये गये बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखं को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक = ?

मान लिया कि बिन्दु P, Q तथा R दिये गये रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

हम जानते हैं कि,

विभाजन सूत्र , के अनुसार यदि कोई बिन्दु P(x, y) किसी दो बिन्दुओं A(x1, y1) and B(x2, y2) को मिलाने वाली रेखाखंड को m1:m2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो

$x=\frac{m_1{x}_2+m_2{x}_1}{m_1+m_2}$ तथा $y=\frac{m_1{y}_2+m_2{y}_1}{m_1+m_2}$

बिन्दु P के निर्देशांक की गणना

यहाँ, x1 = –2, x2 = 2

और, y1 = 2, y2 = 8

तथा, बिन्दु P द्वारा विभाजित किए जाने का अनुपात = 1:3

मान लिया कि बिन्दु P का निर्देशांक (x,y) है।

अत: निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार

$x=\frac{(3\times (-2))+(1\times 2)}{1+3}$

$=\frac{-6+2}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{-4}{4}=-1$

और, $y=\left(\frac{(1\times 8)+(3\times 2)}{1+3}\right)$

$=\frac{8+6}{4}$

$=\frac{14}{4}$

$\Rightarrow y=\frac{7}{2}$

अत: बिन्दु P का निर्देशांक = $(9-1,\frac{7}{2})$

बिन्दु Q के निर्देशांक जो दिये गये बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को 2:2 के अनुपात में विभाजित करता है।

मान लिया कि बिन्दु Q का निर्देशांक = (q1, q2)

चूँकि बिन्दु Q दिये गये रेखाखंड को मध्य में विभाजित करता है

अत: बिन्दु Q के निर्देशांक $=\frac{-2+2}{2},\frac{2+8}{2}$

$=\frac{0}{2},\frac{10}{2}$

= 0, 5

अत: Q के निर्देशांक (0, 5)

बिन्दु R के निर्देशांक की गणना जो दिये गये रेखाखंड को 3:1 अनुपात में विभाजित करता है

यहाँ, x1 = –2, x2 = 2

तथा, y1 = 2, y2 = 8

तथा, विभाजित किए जाने का अनुपात = 3:1

मान लिया कि बिन्दु R का निर्देशांक (c, d) है।

अत: निर्देशांक ज्यामिति के विभाजन सूत्र के अनुसार

$c=\frac{(3\times 2)+(1\times (-2))}{3+1}$

$=\frac{6+(-2)}{4}$

$=\frac{6-2}{4}=\frac{4}{4}$

अत:, c = 1

तथा, $d=\frac{(3\times 8)+(1\times 2)}{3+1}$

$=\frac{24+2}{4}$

$=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}$

अत: बिन्दु R के निर्देशांक $(1,\frac{13}{2})$

अत: ज्ञात किये जाने वाले निर्देशांक $(9-1,\frac{7}{2})$, (0, 5) तथा $(1,\frac{13}{2})$ उत्तर

प्रश्न (10) एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (–1, 4) और (–2, –1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल= $\frac{1}{2}$(उसके विकर्णों का गुणनफल)]

हल

दिया गया है,

समचतुर्भुज के शीर्ष (3, 0), (4, 5), (–1, 4) और (–2, –1)

अत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ?

मान लिया कि दिये गये समचतुर्भुज के शीर्ष A, B, C तथा D हैं।

हम जानते हैं कि निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र के अनुसार किसी दिये गये दो बिन्दुओं के बीच की दूरी $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

बिन्दु A तथा C के बीच की दूरी

यहाँ, x1 = 3, x2 = –1

और, y1 = 0, y2 = 4

अत: दूरी सूत्र के अनुसार

AC $=\sqrt{{(-1-3)}^2+{(4-0)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+{\left(4\right)}^2}$

$=\sqrt{16+16}$

$=\sqrt{32}$

$=\sqrt{16\times 2}$

⇒ AC $=4\sqrt{2}$

बिन्दु B तथा D के बीच की दूरी

यहाँ, x1 = 4, x2 = –2

और, y1 = 5, y2 = –1

अत: दूरी सूत्र के अनुसार

BD $=\sqrt{{(-2-4)}^2+{(-1-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2}$

$=\sqrt{36+36}$

$=\sqrt{72}$

$=\sqrt{36\times 2}$

⇒ BD$=6\sqrt{2}$

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =$\frac{1}{2}$(उसके विकर्णों का गुणनफल)

$=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}$

$=\frac{1}{2}\times 24x2$

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक उत्तर