निर्देशांक ज्यामिति : एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.1 का हल भाग2

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 7.1 का हल भाग2

प्रश्न (3) निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1,5), (2,3) और (–2, –11) संरेखी हैं।

हल:

दिये गये बिन्दु हैं (1,5), (2,3) तथा (–2, –11)

तो सिद्ध करना है कि दिये गये बिन्दु संरेखी हैं अथवा नहीं।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु निम्नांकित हैं

अत: यदि A तथा B, के बीच की दूरी और B तथा C के बीच की दूरी का योग यदि A तथा C के बीच की दूरी के बराबर होता है, तो दिये गये बिन्दु संरेखी हैं तथा यदि बराबर नही है तो दिए गये बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

अर्थात यदि AB + BC = AC, हैं तो दिये गये बिन्दु संरेखी हैं तथा यदि AB + BC $\ne$ AC तो दिए गये बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

मान लिया कि, A = (1, 5), B = (2, 3) and C = (-2, -11)

दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) से हम जानते हैं कि एक ही तल में दिये गये किसी दो बिन्दुओं P तथा Q के बीच की दूरी PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) बिन्दु A(1, 5) और B(2, 3) के बीच की दूरी

यहाँ, x1 = 1, y1 = 5

तथा, x2 = 2, and y2 = 3

अत:, AB $=\sqrt{{(2-1)}^2+{(3-5)}^2}$

$=\sqrt{1^2+{(-2)}^2}$

$=\sqrt{1+4}$

⇒ AB $=\sqrt{5}$ मात्रक - - - - - (i)

(b) बिन्दु B(2, 3) और C(–2, –11) के बीच की दूरी

यहाँ, x1 = 2, y1 = 3

तथा, x2 = –2, y2 = –11

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BC $=\sqrt{{(-2-2)}^2+{(-11-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+{(-14)}^2}$

$=\sqrt{16+196}$

⇒ BC $=\sqrt{212}$ - - - - - - (ii)

(c) बिन्दु A(1, 5) और C(–2, –11) के बीच की दूरी

यहाँ, x1 = 1, y1 = 5

तथा, x2 = –2, y2 = –11

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AC $=\sqrt{{(-2-1)}^2+{(-11-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-16)}^2}$

$=\sqrt{9+256}$

⇒ AC $=\sqrt{265}$ - - - - - - (iii)

अब, AB + BC = AC

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से AB, BC और AC का मान रखने पर

$=\sqrt{5}+\sqrt{212}=\sqrt{265}$

अब चूँकि AB + BC $\ne$ AC

अत: दिये गये बिन्दु संरेखी नहीं हैं उत्तर

वैकल्पिक विधि

ग्राफ विधि

दिए गये बिन्दु हैं (1,5), (2,3) और (–2, –11)

अत: तय करना है कि दिए गये बिन्दु संरेखी हैं अथवा नहीं।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु A, B तथा C हैं।

तथा, A = (1.5), B = (2, 3) तथा C = (–2, –11)

एक ग्राफ पर तीनों बिन्दुओं के निर्देशांक के आधार पर उनकी स्थिति निम्नांकित है

ग्राफ से स्पष्ट है कि दिए गये बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

अत: दिए गये बिन्दु संरेखी नहीं हैं उत्तर

प्रश्न (4) जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, –2), (6, 4) और (7, –2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल:

दिये गये बिन्दु हैं (5, –2), (6, 4) और (7, –2)

अत: जाँच करना है कि दिये गये बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं या नहीं।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु हैं A(5, –2), B(6, 4) तथा C(7, –2)

हम जानते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं तथा किसी त्रिभुज में दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ी होती है।

अब हमें AB, BC तथा AC की गणना करना है।

दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) , के आधार पर हम जानते हैं कि एक तल में स्थित किसी दो बिन्दुओं P तथा Q के बीच की दूरी

PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) A(5, –2) तथा B(6, 4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 5, y1 = –2

तथा, x2 = 6, y2 = 4

अत:, दूरी सूत्र (डिस्टेंस सूत्र) के अनुसार

AB $=\sqrt{{(6-5)}^2+{(4-(-2))}^2}$

$=\sqrt{1^2+{(4+2)}^2}$

$=\sqrt{1+6^2}$

$=\sqrt{1+36}$

⇒ AB $=\sqrt{37}$ मात्रक

(b) B(6, 7) तथा C(4, –2) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 6, y1 = 4

तथा, x2 = 7, तथा y2 = –2

अत:, दूरी सूत्र (डिस्टेंस सूत्र) के अनुसार

BC $=\sqrt{{(7-6)}^2+{(-2-4)}^2}$

$=\sqrt{1^2+{(-6)}^2}$

$=\sqrt{1+36}$

⇒ BC $=\sqrt{37}$ मात्रक

(c) A(5, 1) तथा (7, –2) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 5, y1 = -2

तथा, x2 = 7, y2 = -2

अत:, दूरी सूत्र (डिस्टेंस सूत्र) के अनुसार

AC $=\sqrt{{(7-5)}^2+{(-2-(-2))}^2}$

$=\sqrt{2^2{(-2+2)}^2}$

$=\sqrt{4+0^2}$

$=\sqrt{4}$

⇒ AC =2 मात्रक

अब चूँकि दिये गये ΔABC में

AB=BC$\ne$AC and, AB = BC > AC

अत: दिया गया बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। उत्तर

प्रश्न (5) किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अंदर जाती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, "क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?" चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

हल:

प्रश्न में दिए गये चित्र से यह स्पष्ट है कि दिये गये बिन्दुओं का निर्देशांक निम्नांकित है

A = (3, 4), B = (6, 7), C = (9, 4) and D = (6, 1)

अत: यह जाँच करना है कि ABCD एक वर्ग है या नहीं।

हम जानते हैं कि "यदि किसी चतुर्भुज के चारों भुजाएँ बराबर हों तथा उनके विकर्ण भी आपस में बराबर हों तो वह एक वर्ग होता है।"

दूरी सूत्र के अनुसार हम जानते हैं कि एक तल में स्थित दो बिन्दुओं P(x1, y1) तथा Q(x2, y2) के बीच की दूरी PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A = (3, 4) तथा B = (6, 7) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 3, y1 = 4

तथा, x2 = 6 and y2 = 7

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AB $=\sqrt{{(6-3)}^2+{(7-4)}^2}$

$=\sqrt{3^2+3^2}$

$=\sqrt{9+9}$

⇒ $=\sqrt{18}$ मात्रक - - - - - (i)

(b) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) का उपयोग कर बिन्दु B(6, 7) और C(9, 4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 6, y1 = 7

और, x2 = 9, y2 = 4

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BC $=\sqrt{{(9-6)}^2+{(4-7)}^2}$

$=\sqrt{3^2+{(-3)}^2}$

$=\sqrt{9+9}$

⇒ BC $=\sqrt{18}$ मात्रक - - - - - - (ii)

(c) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु C(9, 4) और D(6, 1) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 9, y1 = 4

और, x2 = 6, y2 = 1

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

CD $=\sqrt{{(6-9)}^2+{(1-4)}^2}$

$=\sqrt{3^2+{(-3)}^2}$

$=\sqrt{9+9}$

⇒ CD $=\sqrt{18}$ मात्रक - - - - - (iii)

(d) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) का उपयोग कर बिन्दु D(6, 1) और A(3, 4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 6, y1 = 1

और, x2 = 3, y2 = 4

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

DA $=\sqrt{{(3-6)}^2+{(4-1)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+3^2}$

$=\sqrt{9+9}$

⇒ DA $=\sqrt{18}$ unit - - - - - - (iv)

(e) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) का उपयोग कर बिन्दु A(3, 4) और C(9, 4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 3, y1 = 4

और, x2 = 9, y2 = 4

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AC $=\sqrt{{(9-3)}^2+{(4-4)}^2}$

$=\sqrt{6^2+0^2}$

⇒ AC $=\sqrt{36}$

⇒ AC = 6 मात्रक - - - - - - (v)

(f) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(6, 7) और D(6, 1) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 6, y1 = 7

और, x2 = 6, y2 = 1

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BD $=\sqrt{{(6-6)}^2+{(1-7)}^2}$

$=\sqrt{0^2+{(-6)}^2}$

$=\sqrt{36}$

⇒ BD = 6 मात्रक - - - - - - (vi)

समीकरण (i), (ii), (iii), (iv), (v) तथा (v) से यह स्पष्ट है कि

AB = BC = CD = AD = $\sqrt{18}$ मात्रक [वर्ग की भुजाएँ]

तथा AC = BD = 6 मात्रक [वर्ग के विकर्ण]

अत: चूँकि दिये गये चतुर्भुज का चारों भुजाएँ आपस में बराबर हैं तथा विकर्ण भी बराबर हैं अत: दिया गया चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। उत्तर

प्रश्न (6) निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए

(i) (–1, –2), (1, 0), (–1, 2), (–3, 0)

हल

दिये गये बिन्दुं हैं (–1, –2), (1, 0), (–1, 2), (–3, 0)

अत: यह जाँच करना है कि दिये गये बिन्दुओं को मिलाने से किस तरह का चतुर्भुज बनता है।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु हैं A, B, C तथा D

अत: दिये गये बिन्दुओं के निर्देशांक हैं A(-1, -2), B(1, 0), C (-1, 2) और D (-3,0)

दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम जानते हैं कि एक तल में स्थित दो बिन्दुओं P(x1, y1) तथा Q(x2, y2) के बीच की दूरी PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(–1, –2) और B(1, 0) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = -1, y1 = -2

और, x2 = 1, y2 = 0

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AB $=\sqrt{{(1-(-1))}^2+{(0-(-2))}^2}$

$=\sqrt{{(1+1)}^2+{(0+2)}^2}$

$=\sqrt{2^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}$

⇒ AB $=2\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - - - (i)

(b) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(1, 0) और C(–1, 2) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 1, y1 = 0

और, x2 = –1, y2 = 2

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BC$=\sqrt{{(-1-1)}^2+{(2-0)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}$

⇒ BC $=2\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - - (ii)

(c) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु C(–1, 2) और D(–3, 0) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = –1, y1 = 2

और, x2 = –3, y2 = 0

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

CD $=\sqrt{{(-3-(-1))}^2+{(0-2)}^2}$

$=\sqrt{{(-3+1)}^2+2^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+4}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}$

⇒ CD $=2\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - - (iii)

(d) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(–1, –2) और D(–3, 0) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = –1, y1 = –2

और, x2 = –3, y2 = 0

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AD $=\sqrt{{(-3(-1))}^2+{(0-(-2))}^2}$

$=\sqrt{{(-3+1)}^2+{(0+2)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}$

⇒ AD $=2\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - (iv)

(e) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से A(–1, –2) और C(–1, 2), के बीच की दूरी अर्थात एक विकर्ण के लम्बाई की गणना

यहाँ, x1 = –1, y1 = –2

और, x2 = –1, y2 = 2

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम पाते हैं

AC $=\sqrt{{(-1(-1))}^2+{(2-(-2))}^2}$

$=\sqrt{{(-1+1)}^2+{(2+2)}^2}$

$=\sqrt{0^2+4^2}$

$=\sqrt{16}$

⇒ AC = 4 मात्रक - - - - - - (v)

(f) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से B(1, 0) और D(–3, 0) के बीच की दूरी अर्थात दूसरे विकर्ण के लम्बाई की गणना

यहाँ, x1 = 1, y1 = 0

और, x2 = –3, तथा y2 = 0

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम पाते हैं कि

BD $=\sqrt{{(-3-1)}^2+{(0-0)}^2}$

$=\sqrt{{(-4)}^2+0^2}$

$=\sqrt{16}$

⇒ BD =4 मात्रक - - - - - (vi)

अब समीकरण (i), (ii), (iii), (iv), (v) और (vi) से हम पाते हैं कि

AB=BC=CD=AD $=2\sqrt{2}$ मात्रक (चतुर्भुज की भुजाएँ)

तथा AC=BD = 4 मात्रक (चतुर्भुज के विकर्ण)

चूँकि दिये गये बिन्दुओं को मिलाने से बने हुए चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं साथ ही विकर्ण भी आपस में बराबर हैं,

अत: दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है। उत्तर

(ii) (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, –4)

हल:

दिये गये बिन्दु हैं (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, –4)

अत: यह जाँच करना है, कि दिये गये बिन्दुओं को मिलाने से बना हुआ चतुर्भुज किस प्रकार का है।

मान लिया कि दिये गये बिन्दु A (–3, 5), B (3, 1), C (0, 3) तथा D(–1, –4) है।

दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम जानते हैं कि एक तल में स्थित दो बिन्दुओं P(x1, y1) तथा Q(x2, y2) के बीच की दूरी PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(–3, 5) और B(3, 1) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = –3, y1 = 5

और, x2 = 3, तथा y2 = 1

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AB $=\sqrt{{(3-(-3))}^2+{(1-5)}^2}$

$=\sqrt{{(3+3)}^2+{(-4)}^2}$

$=\sqrt{6^2+{(-4)}^2}$

$=\sqrt{36+16}$

⇒ AB $=\sqrt{52}$ मात्रक - - - - - (i)

(b) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(3, 1) और C(0, 3) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 3, y1 = 1

और, x2 = 0, तथा y2 = 3

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम पाते हैं कि

BC $=\sqrt{{(0-3)}^2+{(3-1)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+2^2}$

$=\sqrt{9+4}$

⇒ BC $=\sqrt{13}$ मात्रक - - - - - (ii)

(c) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु C(0, 3) और D(–1, –4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 0, y1 = 3

और, x2 = –1, और y2 = –4

अब दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

CD $=\sqrt{{(-1-0)}^2+{(-4-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-1)}^2+{(-7)}^2}$

$=\sqrt{1+49}$

$=\sqrt{50}$

$=\sqrt{25\times 2}$

⇒ CD $=5\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - (iii)

(d) दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(–3, 5) और D(–1, –4) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = –3, y1 = 5

और, x2 = –1, तथा y2 = –4

अत: दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AD $=\sqrt{{(1-(-3))}^2+{(-4-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-1+3)}^2+{(-4-5)}^2}$

$=\sqrt{2^2+{(-9)}^2}$

$=\sqrt{4+81}$

⇒ AD $=\sqrt{85}$ मात्रक - - - - - (iv)

अब समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) से यह स्पष्ट है कि

यहाँ, $AC\ne BC\ne CD\ne DA$

इसका अर्थ है कि दिये गये बिन्दुओं से बने चतुर्भुज की कोई भुजा आपस में बराबर नहीं है।

अत: दिये गये बिन्दुओं से बना हुआ चतुर्भुज एक सामान्य चतुर्भुज है। उत्तर

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल:

दिये गये बिन्दु हैं (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

अत: जाँच करना है कि दिये गये बिन्दु से किस प्रकार का चतुर्भुज बनता है।

मान लिया कि दिये गये बिन्दुओं के निर्देशांक हैं A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) and D(1, 2)

दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार हम जानते हैं कि एक तल में स्थित दो बिन्दुओं P(x1, y1) तथा Q(x2, y2) के बीच की दूरी PQ $=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

(a) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(4, 5) और B(7, 6) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 4, y1 = 5

और, x2 = 7, और y2 = 6

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AB $=\sqrt{{(7-4)}^2+{(6-5)}^2}$

$=\sqrt{3^2+1^2}$

$=\sqrt{9+1}$

$=\sqrt{10}$ मात्रक - - - - - (i)

(b) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(7, 6) और C(4, 3) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 7, y1 = 6

तथा, x2 = 4, तथा y2 = 3

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BC $=\sqrt{{(4-7)}^2+{(3-6)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-3)}^2}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$

⇒ BC $=3\sqrt{2}$ मात्रक - - - - (ii)

(c) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु C(4, 3) और D(1, 2) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 4, y1 = 3

और, x2 = 1, and y2 = 2

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

CD $=\sqrt{{(1-4)}^2+{(2-3)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-1)}^2}$

$=\sqrt{9+1}$

$=\sqrt{10}$ मात्रक - - - - (iii)

(d) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से दिए गये बिन्दु A(4, 5) और D(1, 2) के बीच की दूरी की गणना

यहाँ, x1 = 4, y1 = 5

और, x2 = 1, और y2 = 2

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AD $=\sqrt{{(1-4)}^2+{(2-5)}^2}$

$=\sqrt{{(-3)}^2+{(-3)}^2}$

$=\sqrt{9+9}$

$=\sqrt{18}$

⇒ AD $=3\sqrt{2}$ मात्रक - - - - - (iv)

(e) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु A(4, 5) और C(4, 3) के बीच की दूरी अर्थात चतुर्भुज के एक विकर्ण के लम्बाई की गणना

यहाँ, x1 = 4, y1 = 5

और, x2 = 4, तथा y2 = 3

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

AC $=\sqrt{{(4-4)}^2+{(3-5)}^2}$

$=\sqrt{0^2+{(-2)}^2}$

$=\sqrt{0+4}$

⇒ AC $=\sqrt{4}=2$ मात्रक - - - - - (v)

(f) निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के उपयोग से बिन्दु B(7, 6) और D(1, 2) के बीच की दूरी अर्थात दिए गये चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण की लम्बाई की गणना

यहाँ, x1 = 7, y1 = 6

तथा, x2 = 1, y2 = 2

अत: निर्देशांक ज्यामिति के दूरी सूत्र (डिस्टेंस फॉर्मूला) के अनुसार

BD $=\sqrt{{(1-7)}^2+{(2-6)}^2}$

$=\sqrt{{(-6)}^2+{(-4)}^2}$

$=\sqrt{36+16}$

$=\sqrt{52}$

$=2\sqrt{13}$ मात्रक - - - - - (vi)

अब समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) से

AB=CD$=\sqrt{10}$ मात्रक तथा BC=AD$=3\sqrt{2}$ मात्रक [चतुर्भुज की भुजाएँ]

तथा समीकरण (v) और (vi) से

विकर्ण, AC=2 मात्रक तथा विकर्ण BD$=2\sqrt{13}$ मात्रक

अत: यह स्पष्ट है कि दिये गये चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ बराबर हैं लेकिन विकर्ण आपस में बराबर नहीं हैं।

अत: दिया गया चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है। उत्तर