त्रिभुज : एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 (भाग-2)

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3 (भाग-2)

त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी पर आधारित प्रश्न

प्रश्न संख्यां: 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $△$ ABE ~ $△$ CFB है।

हल:

मान लिया कि प्रश्न में दिया गया चतुर्भुज ABCD है।

त्रिभुज ABE तथा त्रिभुज CFB में,

$\angle A=\angle C$ [चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

$\angle AEB=\angle CBF$ [चूँकि AE|| BC तथा ये एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर

$△$ ABE ~ $△$ CFB प्रमाणित

प्रश्न संख्यां: 9. दिये गये आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:

(i) $△$ ABC ~ $△$ AMP

(ii) $\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}$

हल:

(i) $△$ ABC ~ $△$ AMP

त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज AMP में,

$\angle ABC=\angle AMP$ [चूँकि दोनों कोण अलग अलग ${90}^o$ के बराबर है।]

तथा, $\angle A$ दोनो त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ ABC ~ $△$ AMP

(ii) $\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}$

चूँकि $△$ ABC ~ $△$ AMP

तथा समरूप त्रिभुजों के संगत भुजा समानुपाती होती हैं

अत: $\frac{CA}{PA}=\frac{BC}{MP}$ प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 10. CD और GH क्रमश: $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमश: $△$ ABC और $△$ FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि $△$ ABC ~ $△$ FEG है, तो दर्शाइए कि:

(i) $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$

(ii) $△$ DCB ~ $△$ HGE

(iii) $△$ DCA ~ $△$ HGF

हल:

मान लिया कि दिया गया त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज FEG है।

तथा CD रेखा $\angle BCA$ को समद्विभाजित करती है, तथा GH रेखा $\angle EGF$ को समद्विभाजित करती है।

दिया गया है, $△$ ABC ~ $△$ FEG

(i) $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$

$△$ ABC तथा $△$ FEG

चूँकि $△$ ABC ~ $△$ FEG

अत: `/_A = /_F,

$\angle B=\angle E$ तथा $\angle ACB=\angle FGE$

अत: $\angle ACD=\angle FGH$ [कोण समद्विभाजक] -------(i)

तथा $\angle DCB=\angle HGE$ [कोण समद्विभाजक] ----(ii)

अब, त्रिभुज ACD तथा त्रिभुज FGH में,

$\angle A=\angle F$ तथा $\angle ACD=\angle FGH$

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ ACD ~ $△$ FGH

अत: $\frac{CD}{GH}=\frac{AC}{FG}$ प्रमाणित

(ii) $△$ DCB ~ $△$ HGE

दिया गया है, $△$ ABC ~ $△$ FEG

अत: $\angle B=\angle E$

तथा, $\angle DCB=\angle HGE$ [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ DCB ~ $△$ HGE प्रमाणित

(iii) $△$ DCA ~ $△$ HGF

दिया गया है, $△$ ABC ~ $△$ FEG

अत: $\angle A=\angle F$

तथा, $\angle ACD=\angle FGH$ [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ DCA ~ $△$ HGF प्रमाणित

प्रश्न संख्यां : 11. दिये गये आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC के बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि $AD\perp BC$ और $EF\perp AC$ है तो सिद्ध कीजिए कि $△$ ABD ~ $△$ ECF है।

हल :

दिया गया है,

AB = AC, AD $\perp$ BC तथा EF $\perp$ AC

तो सिद्ध करना है कि $△$ ABD ~ $△$ ECF

त्रिभुज ABD तथा त्रिभुज ECF में,

चूँकि, AB = AC

अत: $\angle ABD=\angle ECF$

तथा $\angle BDA=\angle CFE$ [चूँकि AD $\perp$ BC तथा EF $\perp$ AC]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर

$△$ ABD ~ $△$ ECF

प्रश्न संख्या: 12. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमश: भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है (देखिये आकृति)। दर्शाइए कि $△$ ABC ~ $△$PQR है।

हल:

दिया गया है, AD तथा PM त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR की भुजाएँ BC तथा QR की मध्यिका है।

अत: $BD=\frac{1}{2}BC$ ----(i)

तथा $QM=\frac{1}{2}QR$ ----(ii)

साथ ही दिया गया है,

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AD}{PM}$

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\left(\frac{1}{2}\left(BC\right)\right)\frac{)}{\frac{1}{2}\left(QR\right)}=\frac{AD}{PM}$

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$△$ ABD ~ $△$ PQM

अत: $\angle ABD=\angle PQM$ [चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के संगत कोण हैं]

तथा प्रश्न में दिया गया है,

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$△$ ABC ~ $△$ PQR प्रमाणित

प्रश्न संख्या : 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC=\angle BAC$ है। दर्शाइए कि $C{A}^2=CB\cdot CD$ है।

हल:

मान लिया कि दिया गया त्रिभुज चित्र के अनुसार है।

दिया गया है, $\angle ADC=\angle BAC$

सिद्ध करना है: $C{A}^2=CB\cdot CD$

त्रिभुज ADC तथा त्रिभुज ABC में,

$\angle DCA=\angle BCA$ = [उभयनिष्ठ कोण]

तथा $\angle ADC=\angle BAC$

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ ADC ~ $△$ BAC

अत: $\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$

[चूँकि समरूप त्रिभुज की भुजाएँ समानुपाती होते हैं]

$\Rightarrow CA\cdot CA=CB\times CD$

$\Rightarrow C{A}^2=CB\times CD$ प्रमाणित

प्रश्न संख्या: 14 . एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमश: समानुपाती है। दर्शाइए कि $△$ ABC ~ $△$ PQR है।

हल:

मान लिया कि प्रश्न में दिये गये त्रिभुज चित्र के अनुसार हैं।

दिया गया है,

`(AB)/(PQ) = (AC)/(PR) = (AD)/(PM)

अब त्रिभुज ABC में AD को E तक इस तरह बढ़ाया गया कि AD = DE

तथा E को B तथा C से मिलाया गया।

उसी तरह त्रिभुज PQR में, PM = ML खींचा गया तथा L को Q तथा R से मिलाया गया।

प्रश्न के अनुसार AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,

अत: BD = DC तथा QM = MR

तथा बनाबट के अनुसार,

AD = DE तथा PM = ML

अब चतुर्भुज ABED में,

विकर्ण AE तथा BC एक दूसरे को D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं,

अत: ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: AC = BE तथा AB = EC

[चूँकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने की भुजा बराबर होती हैं]

उसी प्रकार PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है तथा

PR = QL तथा PQ = LR

अब प्रश्न के अनुसार,

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{AD}{PM}$

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BE}{QL}=\frac{2\cdot AD}{2\cdot PM}$

$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BE}{QL}=\frac{AE}{PL}$

अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$△$ ABE ~ $△$ PQL

अत: $\angle BAE=\angle QPL$ --------- (i)

[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

उसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है, कि

$△$ AEC ~ $△$ PLR

अत: $\angle CAE=\angle RPL$ ------------ (ii)

[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर

$\angle BAE+\angle CAE=\angle QPL+\angle RPL$

$\Rightarrow \angle CAB=\angle RPQ$ --------- (iii)

अब त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR में,

प्रश्न के अनुसार,

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$

तथा समीकरण (iii) से

$\Rightarrow \angle CAB=\angle RPQ$

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर

$△$ ABC ~ $△$ PQR प्रमाणित

प्रश्न संख्या : 15. लम्बाई 6 m वाले एक उर्ध्वाकार स्तंभ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि CD उर्ध्वाकार स्तंभ तथा AB एक मीनार है।

दिया गया है,

CD = 6 m, DF = 4 m तथा BE = 28 m

AB =?

यहाँ $\angle CDE=ABE={90}^o$

चूँकि सूर्य की छाया एक ही समय में स्तंभ तथा मीनार पर पड़ रही है, अत: उन्नति कोण बराबर होंगे।

अर्थात, $\angle FCD=\angle EAB$

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$△$ CDF ~ $△$ ABE

चूँकि, समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं,

अत: $\frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BE}$

$\Rightarrow \frac{6m}{AB}=\frac{4m}{28m}$

$\Rightarrow AB\times 4m=6m\times 28m$

$\Rightarrow AB=\frac{6\times 28}{4}m$

$\Rightarrow AB=42m$

अत: मीनार की ऊँचाई = 42 m उत्तर

प्रश्न संख्यां: 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमश: माध्यिकाएँ हैं, जबकि $△$ABC ~ $△$PQR है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$ है।

हल :

मान लिया कि प्रश्न में दिये गये त्रिभुज ABC और PQR चित्र के अनुसार हैं,

दिया गया है, $△$ABC ~ $△$PQR

अत: $\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{BC}{QR}$ -------- (i)

चूँकि AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,

अत: $BD=\frac{1}{2}BC$ तथा, $QM=\frac{1}{2}QR$ ----- (ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) से $\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$

त्रिभुज ABD तथा त्रिभुज PQM

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$

$\angle B=\angle Q$ [चूँकि $△$ABC ~ $△$PQR]

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$△$ ABD ~ $△$ PQM

अत: $\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

अत: $\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$ प्रमाणित