दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4

विलोपन विधि से रैखिक समीकरण के युग्म का हल (Solving a Pair of Linear Equation using Elimination Method)

जब दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म को हल करने के लिए एक चर को विलुप्त कर एक चर में एक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं, तब इस विधि को विलोपन विधि (Elimination Method) कहते हैं।

विलोपन विधि से दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए आवश्यक चरण

चरण: 1. सर्वप्रथम दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर अचरों से, किसी एक चर (x अथवा y) के गुणांकों को संख्यात्मक रूप में समान करने के लिए गुणा किया जाता है।

चरण2: पुन: एक समीकरण को दूसरे समीकरण में जोड़ें या घटाएँ जिससे कि एक चर विलुप्त हो जाए। यदि आप एक चर में समीकरण पाते हैं, तो चरण 3 में जाइए।

यदि चरण 2 में, हमें चर रहित एक सत्य कथन प्राप्त हो, तो मूल समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

यदि चरण 2 में, हमें एक चर रहित असत्य कथन मोले, तो मूल समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात यह असंगत है।

चरण: 3: इस प्रकार एक चर (x या y) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक मे, दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापित कीजिए।

चरण: 4: x (या y) के इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में, दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापित कीजिए।

उदारण :

मान लिया कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण का युग्म है

2x + 3y = 35 -----(i)

3x + 2y = 40 ----(ii)

चरण : 1 समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर

i.e. 3(2x + 3y = 35)

= 6x + 9y = 105 -----(iii)

तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं

i.e. 2(3x + 2y = 40)

⇒ 6x + 4y = 80 ------(iv)

चरण : 2. अब समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर

(6x + 9y) – (6x + 4y) = 105-80

चरण : 3.

⇒ 6 x + 9y – 6 x – 4y = 25

⇒ 9y – 4y = 25

⇒ 5y = 25

∴ y = 255 = 5

चरण : 4:

अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर

2x + 3y = 35

⇒ 2x + 3 × 5 = 35

⇒ 2x + 15 = 35

⇒ 2x = 35 – 15 = 20

∴ x = 202 = 10

अत:, x = 10 तथा y = 5 उत्तर

एनसीआरटी प्रश्नावली 3.4 गणित क्लास दसवीं

प्रश्न संख्या: 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(i) x + y = 5 और

2x – 3y = 4

हल: दिया गया है,

x + y = 5 - - - - - (i)

2x – 3y = 4 - - - - - (ii)

विलोपन विधि से हल

समीकरण (i) को 3 से गुणा कर हम पाते हैं

3(x + y = 5)

⇒ 3x + 3y = 15 - - - - - (iii)

अब समीकरण (ii) तथा समीकरण (iii) को जोड़ने पर हम पाते हैं

2x – 3 y + 3x + 3 y = 4 + 15

⇒ 2x + 3x = 19

⇒ 5x = 19

⇒ x = 195

अब x का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं

195 + y = 5

⇒ y = 5 – 195

⇒ y = 25 – 195 = 65

अत:, x = 195 तथा y = 65 उत्तर

प्रतिस्थापन विधि से हल

दिया गया है,

x + y = 5 - - - - - (i)

2x – 3y = 4 - - - - - (ii)

समीकरण (i) से

x + y = 5

⇒ x = 5 – y - - - - - (iii)

समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर

2(5 – y) – 3y = 4

⇒ 10 – 2y – 3y = 4

⇒ 10 – 5y = 4

⇒ – 5y = 4 – 10

⇒ – 5y = – 6

⇒ y = – 6– 5

⇒ y = 65 - - - - - (iv)

अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर

x + 65 = 5

⇒ x = 5 – 65

⇒ x = 25 – 65

= x = 195

अत: x = 195 तथा y = 65 उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं।

(ii) 3x + 4y = 10;

2x – 2y = 2

हल:

दिया गया है, 3x + 4y = 10 - - - - - (i)

2x – 2y = 2 - - - - - (ii)

विलोपन विधि से हल

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं

2 ( 2x – 2y = 2 )

⇒ 4x – 4y = 4 - - - - - (iii)

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (iii) को जोड़ने पर

(3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4

⇒ 3x + 4 y + 4x – 4 y = 14

⇒ 7x = 14

∴ x = 147 = 2

अब x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

2 × 2 – 2y = 2

⇒ 4 – 2y = 2

⇒ – 2y = 2 – 4

⇒ – 2y = – 4

⇒ y = – 4– 2 = 1

अत:, x = 2 तथा y = 1 उत्तर

प्रतिस्थापन विधि से हल

दिया गया है, 3x + 4y = 10 - - - - - (i)

2x – 2y = 2 - - - - - (ii)

बाँया पक्ष से 2 उभयनिष्ठ लेने पर

⇒ 2(x – y) = 2

⇒ x – y = 22

⇒ x – y = 1

⇒ x = 1 + y - - - - - (iii)

अब समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

3(1 + y) + 4y = 10

⇒ 3 + 3y + 4y = 10

⇒ 3 + 7y = 10

⇒ 7y = 10 – 3 = 7

⇒ y = 77 = 1

अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

2x – 2 × 1 = 2

⇒ 2x – 2 = 2

⇒ 2x = 2 + 2 = 4

⇒ x = 42 = 2

अत:, x = 2 तथा y = 1 उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं।

(iii) 3x – 5y – 4 = 0;

9x = 2y + 7

हल:

विलोपन विधि से हल

दिया गया है, 3x – 5y – 4 = 0 - - - - - (i)

9x = 2y + 7

⇒ 9x – 2y – 7 = 0 - - - - - (ii)

समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

3(3x – 5y – 4 = 0)

⇒ 9x – 15y – 12 = 0 - - - - - (iii)

अब समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर हम पाते हैं

(9x – 15y – 12) – (9x – 2y – 7) = 0 – 0

⇒ 9 x – 15y – 12 – 9 x + 2y + 7 = 0

⇒ – 13y – 5 = 0

⇒ – 13y = 5

⇒ y = – 5/13

अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर

3x – (5 × – 513) – 4 = 0

⇒ 3x + 2513 = 4

⇒ 3x = 4 – 2513

⇒ 3x = 52 – 2513

⇒ 3x = 2713

⇒ x = 27 913 × 13

⇒ x = 913

अत:, x = 913 तथा y = – 513 उत्तर

प्रतिस्थापना विधि से हल

दिय गया है, 3x – 5y – 4 = 0 - - - - - (i)

9x = 2y + 7 - - - - - (ii)

समीकरण (i) से

3x – 5y – 4 = 0

⇒ 3x – 5y = 4

⇒ 3x = 4 + 5y

⇒ x = 4x + 5y3 - - - - - (iii)

अब x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं

9 3 × 4 + 5y3 = 2y + 7

⇒ 3(4 + 5y) = 2y + 7

⇒ 12 + 15y = 2y + 7

⇒ 12 – 7 + 15y = 2y

⇒ 5 + 15y = 2y

⇒ 5 = 2y – 15y

⇒ – 13y = 5

⇒ y = – 513

y का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

3x – 5( – 513 ) – 4 = 0

⇒ 3x + 2513 = 4

⇒ 3x = 4 – 2513

⇒ 3x = (52 – 25)13

⇒ 3x = 2713

⇒ x = 2713 × 13

⇒ x = 913

अत:, x = 913 तथा y = – 513 उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं। परंतु विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iv) x2 + 2y3 = – 1;

x – y3 = 3

हल:

विलोपन विधि से हल

दिया गया है, x2 + 2y3 = – 1 - - - - - (i)

x – y3 = 3 - - - - - (ii)

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

2(x – y3 = 3)

⇒ 2x – 2y3 = 6 - - - - - (iii)

समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

x2 + 2y3 + 2x – 2y3 = – 1 + 6

⇒ x2 + 2x = 5

⇒ x + 4x2 = 5

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन (Cross multiplication)) करने पर हम पाते हैं कि

x + 4x = 5 × 2 = 10

⇒ 5x = 10

⇒ x = 105 = 2

अब x का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि

2 – y3 = 3

⇒ – y3 = 3 – 2 = 1

क्रॉस गुणा (बज्र गुणन (Cross multiplication)) करने पर हम पाते हैं कि

⇒ – y = 3

⇒ y = – 3

अत:, x = 2 तथा y = – 3 उत्तर

प्रतिस्थापना विधि से हल

दिया गया है, x2 + 2y3 = – 1 - - - - - (i)

x – y3 = 3 - - - - - (ii)

समीकरण (ii) से

⇒ x = 3 + y3

⇒ x = 9 + y3 - - - - - (iii)

x का मान समीकरण (i) में रखने पर

⇒ 9 + y32 + 2y3 = – 1

⇒ 9 + y3 × 2 + 2 y3 = – 1

⇒ 9 + y6 + 2y3 = – 1

⇒ 9 + y + 2(2y)6 = – 1

⇒ 9 + y + 4y6 = – 1

क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि

⇒ 9 + 5y = – 6

⇒ 5y = – 6 – 9

⇒ 5y = – 15

⇒ y = – 153 = 3

अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर

x – ( – 33 ) = 3

⇒ x + 1 = 3

⇒ x = 3 – 1 = 2

∴ x = 2, तथा y = – 3 उत्तर

दिये गये रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि दोनों ही उपयुक्त हैं। परंतु विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।