दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म : एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 (भाग 2)

 

एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 (भाग 2)

एनoसीoईoआरoटीo गणित क्लास दसवीं प्रश्नावली 3.2 प्रश्न संख्या 4 से 7

प्रश्न संख्या: (4) निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) x + y = 5,

2x + 2y = 10

हल:

दिया गया है, x + y = 5

⇒ x + y –  5 = 0 -----(i)

2x + 2y = 10

⇒ 2x + 2y – 10 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = 1, c1 = – 5 तथा

a2 = 2, b2 = 2, c2 = – 10

अब,

a1a2 = 12

b1b2 = 12

तथा, c1c2 = – 5– 10 = 12

यहाँ चूँकि, a1a2 = b1b2 = c1c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म आश्रित (संगत) हैं।

अब समीकरण (i) से

x = y – 5

हल का टेबल

x	4	3	2
y	1	2	3

तथा समीकरण (ii) से

x = 10 – 2y2

हल का टेबल

x	4	3	2
y	1	2	3

दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफीय निरूपण

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के अनगिनत हल हैं, जिनमें से कुछ (x = 2, y = 3 ), (x = 3, y = 2), (x = 4, y = 1) आदि हैं। उत्तर

(ii) x – y = 8;

3x – 3y = 16

हल:

दिया गया है, x – y = 8

⇒ x –  y –  8 = 0 -----(i)

तथा, 3x – 3y = 16

⇒ 3x –  3y –  16 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = – 1, c1 = – 8

तथा, a2 = 3, b2 = – 3, c2 = – 16

अब,

a1a2 = 13

b1b2 = – 1– 3 = 13

c1c2 = – 8– 16 = 12

यहाँ चूँकि, a1a2 = b1b2 ≠ c1c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक समांतर रेखा होगी तथा समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं। उत्तर

(iii) 2x + y – 6 = 0;

4x – 2y – 4 = 0

हल:

दिया गया है, 2x + y – 6 = 0 -----(i)

4x – 2y – 4 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 2, b1 = 1, c1 = – 6

तथा, a2 = 4, b2 = – 2, c2 = – 4

अत:,

a1a2 = 24 = 12

b1b2 = 1– 2

c1c2 = – 6– 4 = 32

यहाँ चूँकि, a1a2 ≠ b1b2

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत (Consistent) है।

अब समीकरण (i) से

2x + y = 6

⇒ x = 6 – y2

समीकरण के संभावित हल का टेबल

x	0	1	2
y	6	4	2

तथा समीकरण (ii) से

4x – 2y = 4

⇒ x = 4 + 2y2

समीकरण के संभावित हल का टेबल

x	1	2	3
y	0	2	4

दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफीय निरूपण

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल है (2, 2) अर्थात x = 2 तथा y = 2 उत्तर

(iv) 2x – 2y – 2 = 0;

4x – 4y – 5 = 0

हल:

दिया गया है, 2x – 2y – 2 = 0 -------(i)

4x – 4y – 5 = 0 --------(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 2, b1 = – 2, c1 = – 2

तथा, a2 = 4, b2 = – 4, c2 = – 5

अत:,

a1a2 = 24 = 12

b1b2 = – 2– 4 = 12

तथा, c1c2 = – 2– 5 = 25

यहाँ चूँकि, a1a2 = b1b2 ≠ c1c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक समांतर रेखा होगी तथा समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या: (5) एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि बाग की चौड़ाई = x m

तथा बाग की लम्बाई = y m

अत: प्रश्न के अनुसार

x + 4 = y

⇒ x – y + 4 = 0 -----(i)

⇒ y – x = 4 -----(ii)

तथा, x + y = 36 -----(iii)

⇒ x + y – 36 = 0 ------(iv)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = – 1, c1 = 4

तथा, a2 = 1, b2 = 1, c1 = – 36

यहाँ,

a1a2 = 11

b1b2 = – 11 = – 1

यहाँ चूँकि, a1a2 ≠ b1b2,

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।

समीकरण (i) y – x = 4 लिए

x	0	8	12
y	4	12	16

तथा समीकरण (ii) x + y = 36 के लिए

x	0	36	16
y	36	0	20

चूँकि दी गई स्थिति में प्राप्त रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ एक बिन्दु (16, 20) पर प्रतिच्छेद करती हैं

अत: बाग की चौड़ाई = 16 m तथा लम्बाई = 20 m. उत्तर

प्रश्न संख्या: (6) एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में से एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।

(ii) समांतर रेखाएँ हों।

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

हल:

दिया गया रैखिक समीकरण है 2x + 3y – 8 = 0

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।

रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद तब करती है, जब

a1a2 ≠ b1b2

यहाँ दिया गया एक रैखिक समीकरण है, 2x + 3y – 8 = 0

अत:, a1 = 2, b1 = 3

अत:, a1a2 = 22 = 1

तथा, b1b2 = 34

[यहाँ b2 = 4 मान लिया गया है ताकि a1a2 ≠ b1b2 हो सके]

यहाँ चूँकि, a1a2 ≠ b1b2

अत: समीकरण के युग्म का दूसर एक संभावित समीकरण होगा

2x + 4 y –  8 = 0 उत्तर

(ii) समांतर रेखाएँ हों।

एक रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ समांतर तभी होती हैं, जब

a1a2 = b1b2 ≠ c1c2

समीकरण युग्म में से एक दिया गया समीकरण है, 2x + 3y – 8 = 0

यहाँ, a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 8

अत: a1a2 = 22 = 1

तथा, b1b2 = 33 = 1

तथा, c1c2 = – 8– 12

अत:, a2 = 2, b2 = 3 and c3 = – 12

अत: रैखिक समीकरणों के युग्म का दूसरा संभावित समीकरण हो सकता है

2x + 3y –  12 = 0 उत्तर

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

एक रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ तभी संपाती (Coincident) होती हैं जब

a1a2 = b1b2 = c1c2

यहाँ दिया गया एक रैखिक समीकरण है 2x + 3y – 8 = 0

अत:, a1a2 = 24 = 12

अत: b1b2 = 36 = 12

तथा, c1c2 = – 8– 16 = 12

अत: दिये गये रैखिक समीकरण का दूसरा संभावित युग्म है

4x + 6y – 16 = 0 उत्तर

प्रश्न संख्या: (7) समीकरणों x – y + 1 = 0 तथा 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल:

दिया गया है,

x – y + 1 = 0 ------(i)

तथा, 3x + 2y – 12 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) से

x = y –  1

x	0	1	2
y	1	2	3

तथा समीकरण (ii) से

x = 12 – 2y3

x	4	2	0
y	0	3	6

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफीय निरूपण

प्राप्त ग्राफ के अनुसार त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (2, 3), (– 1, 0) तथा (4, 0) हैं।उत्तर